高等数学(第七版)同济大学 习题3-5 个人解答
高等数学(第七版)同济大学 习题3-5
1.求下列函数的极值:\begin{aligned}&1. \ 求下列函数的极值:&\end{aligned}1. 求下列函数的极值:
(1)y=2x3−6x2−18x+7; (2)y=x−ln(1+x);(3)y=−x4+2x2; (4)y=x+1−x;(5)y=1+3x4+5x2; (6)y=3x2+4x+4x2+x+1;(7)y=excosx; (8)y=x1x;(9)y=3−2(x+1)13; (10)y=x+tanx.\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ y=2x^3-6x^2-18x+7;\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ y=x-ln(1+x);\\\\ &\ \ (3)\ \ y=-x^4+2x^2;\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \ y=x+\sqrt{1-x};\\\\ &\ \ (5)\ \ y=\frac{1+3x}{\sqrt{4+5x^2}};\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6)\ \ y=\frac{3x^2+4x+4}{x^2+x+1};\\\\ &\ \ (7)\ \ y=e^xcos\ x;\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (8)\ \ y=x^{\frac{1}{x}};\\\\ &\ \ (9)\ \ y=3-2(x+1)^{\frac{1}{3}};\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (10)\ \ y=x+tan\ x. & \end{aligned} (1) y=2x3−6x2−18x+7; (2) y=x−ln(1+x); (3) y=−x4+2x2; (4) y=x+1−x; (5) y=4+5x21+3x; (6) y=x2+x+13x2+4x+4; (7) y=excos x; (8) y=xx1; (9) y=3−2(x+1)31; (10) y=x+tan x.
解:
(1)y′=6x2−12x−18,y′′=12x−12,令y′=0,得x1=−1,x2=3,当x=−1时,y′′=−24<0,得出当x=−1时,y=17是极大值,当x=3时,y′′=24>0,得出当x=3时,y=−47是极小值。(2)函数定义域为(−1,+∞),在(−1,+∞)内可导,y′=1−11+x,y′′=1(1+x)2(x>−1),令y′=0,得x=0,当x=0时,y′′=1>0,得出当x=0时,y=0是极小值。(3)y′=−4x3+4x=−4x(x2−1),y′′=−12x2+4,令y′=0,得x1=−1,x2=1,x3=0,当x=−1时,y′′=−8<0,得出当x=−1时,y=1是极大值,当x=1时,y′′=−8<0,得出当x=1时,y=1是极大值,当x=0时,y′′=4>0,得出当x=0时,y=0是极小值。(4)函数定义域为(−∞,1],在(−∞,−1)内可导,y′=1−121−x=21−x−121−x,y′′=−14(1−x)3令y′=0,得x=34,当x=34时,y′′=−2<0,得出当x=34时,y=54是极大值。(5)y′=34+5x2−(1+3x)⋅10x24+5x24+5x2=12−5x(4+5x2)3=−5(x−125)(4+5x2)3,令y′=0,得x=125,当−∞<x<125时,y′>0,所以函数在(−∞,125]上单调增加,当125<x<+∞时,y′<0,所以函数在[125,+∞)上单调减少,所以y(125)=20510是极大值。(6)y′=(6x+4)(x2+x+1)−(2x+1)(3x2+4x+4)(x2+x+1)2=−x(x+2)(x2+x+1)2,令y′=0,得x1=−2,x2=0,当−∞<x<−2时,y′<0,所以函数在(−∞,−2]上单调减少,当−2<x<0时,y′>0,所以函数在[−2,0]上单调增加,当0<x<+∞时,y′<0,所以函数在[0,+∞)上单调减少,得出y(−2)=83是极小值,y(0)=4是极大值。(7)y′=excosx−exsinx=ex(cosx−sinx),y′′=−2exsinx,令y′=0,得xk=2kπ+π4,xk′=2kπ+5π4(k=0,±1,±2,⋅⋅⋅),当x=2kπ+π4时,y′′=−2e2kπ+π4<0,得出当x=2kπ+π4时,y=22e2kπ+π4(k=0,±1,±2,⋅⋅⋅)是极大值,当x=2kπ+5π4时,y′′=2e2kπ+5π4>0,得出当x=2kπ+5π4时,y=−22e2kπ+5π4(k=0,±1,±2,⋅⋅⋅)是极小值。(8)函数的定义域为(0,+∞),在(0,+∞)内可导,y′=(e1xlnx)′=e1xlnx⋅1−lnxx2=x1x−2(1−lnx),令y′=0,得x=e,当0<x<e时,y′>0,所以函数在(0,e]上单调增加,当e<x<+∞时,y′<0,所以函数在[e,+∞)上单调减少,得出y(e)=e1e是极大值。(9)当x≠−1时,y′=−23⋅1(x+1)3<0,因为x=−1时函数有定义,所以函数在(−∞,+∞)内单调减少,没有极值。(10)y′=1+sec2x>0,所以函数在(−∞,+∞)内单调增加,没有极值。\begin{aligned} &\ \ (1)\ y'=6x^2-12x-18,y''=12x-12,令y'=0,得x_1=-1,x_2=3,\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当x=-1时,y''=-24 \lt 0,得出当x=-1时,y=17是极大值,\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当x=3时,y''=24 \gt 0,得出当x=3时,y=-47是极小值。\\\\ &\ \ (2)\ 函数定义域为(-1, \ +\infty),在(-1, \ +\infty)内可导,\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ y'=1-\frac{1}{1+x},y''=\frac{1}{(1+x)^2}\ (x \gt -1),令y'=0,得x=0,当x=0时,y''=1 \gt 0,\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 得出当x=0时,y=0是极小值。\\\\ &\ \ (3)\ y'=-4x^3+4x=-4x(x^2-1),y''=-12x^2+4,令y'=0,得x_1=-1,x_2=1,x_3=0,\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当x=-1时,y''=-8 \lt 0,得出当x=-1时,y=1是极大值,\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当x=1时,y''=-8 \lt 0,得出当x=1时,y=1是极大值,\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当x=0时,y''=4 \gt 0,得出当x=0时,y=0是极小值。\\\\ &\ \ (4)\ 函数定义域为(-\infty, \ 1],在(-\infty, \ -1)内可导,\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ y'=1-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}=\frac{2\sqrt{1-x}-1}{2\sqrt{1-x}},y''=-\frac{1}{4\sqrt{(1-x)^3}}\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 令y'=0,得x=\frac{3}{4},当x=\frac{3}{4}时,y''=-2 \lt 0,得出当x=\frac{3}{4}时,y=\frac{5}{4}是极大值。\\\\ &\ \ (5)\ y'=\frac{3\sqrt{4+5x^2}-(1+3x)\cdot \frac{10x}{2\sqrt{4+5x^2}}}{4+5x^2}=\frac{12-5x}{\sqrt{(4+5x^2)^3}}=\frac{-5\left(x-\frac{12}{5}\right)}{\sqrt{(4+5x^2)^3}},\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 令y'=0,得x=\frac{12}{5},当-\infty \lt x \lt \frac{12}{5}时,y' \gt 0,所以函数在\left(-\infty, \ \frac{12}{5}\right]上单调增加,\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当\frac{12}{5} \lt x \lt +\infty时,y' \lt 0,所以函数在\left[\frac{12}{5}, \ +\infty\right)上单调减少,所以y\left(\frac{12}{5}\right)=\frac{\sqrt{205}}{10}是极大值。\\\\ &\ \ (6)\ y'=\frac{(6x+4)(x^2+x+1)-(2x+1)(3x^2+4x+4)}{(x^2+x+1)^2}=\frac{-x(x+2)}{(x^2+x+1)^2},\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 令y'=0,得x_1=-2,x_2=0,当-\infty \lt x \lt -2时,y' \lt 0,所以函数在(-\infty, \ -2]上单调减少,\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当-2 \lt x \lt 0时,y' \gt 0,所以函数在[-2, \ 0]上单调增加,\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当0 \lt x \lt +\infty时,y' \lt 0,所以函数在[0, \ +\infty)上单调减少,得出y(-2)=\frac{8}{3}是极小值,y(0)=4是极大值。\\\\ &\ \ (7)\ y'=e^xcos\ x-e^xsin\ x=e^x(cos\ x-sin\ x),y''=-2e^xsin\ x,令y'=0,得x_k=2k\pi+\frac{\pi}{4},\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ x'_k=2k\pi+\frac{5\pi}{4}\ (k=0,\pm 1,\pm 2,\cdot\cdot\cdot),\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当x=2k\pi+\frac{\pi}{4}时,y''=-\sqrt{2}e^{2k\pi+\frac{\pi}{4}} \lt 0,得出当x=2k\pi+\frac{\pi}{4}时,y=\frac{\sqrt{2}}{2}e^{2k\pi+\frac{\pi}{4}}\ \\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ (k=0,\pm 1,\pm 2,\cdot\cdot\cdot)是极大值,\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当x=2k\pi+\frac{5\pi}{4}时,y''=\sqrt{2}e^{2k\pi+\frac{5\pi}{4}} \gt 0,得出当x=2k\pi+\frac{5\pi}{4}时,y=\frac{-\sqrt{2}}{2}e^{2k\pi+\frac{5\pi}{4}}\ \\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ (k=0,\pm 1,\pm 2,\cdot\cdot\cdot)是极小值。\\\\ &\ \ (8)\ 函数的定义域为(0, \ +\infty),在(0, \ +\infty)内可导,\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ y'=(e^{\frac{1}{x}ln\ x})'=e^{\frac{1}{x}ln\ x}\cdot \frac{1-ln\ x}{x^2}=x^{\frac{1}{x}-2}(1-ln\ x),令y'=0,得x=e,\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当0 \lt x \lt e时,y' \gt 0,所以函数在(0, \ e]上单调增加,\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当e \lt x \lt +\infty时,y' \lt 0,所以函数在[e, \ +\infty)上单调减少,得出y(e)=e^{\frac{1}{e}}是极大值。\\\\ &\ \ (9)\ 当x \neq -1时,y'=-\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{(x+1)^3}} \lt 0,因为x=-1时函数有定义,所以函数在(-\infty, \ +\infty)内单调减少,\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 没有极值。\\\\ &\ \ (10)\ y'=1+sec^2\ x \gt 0,所以函数在(-\infty, \ +\infty)内单调增加,没有极值。 & \end{aligned} (1) y′=6x2−12x−18,y′′=12x−12,令y′=0,得x1=−1,x2=3, 当x=−1时,y′′=−24<0,得出当x=−1时,y=17是极大值, 当x=3时,y′′=24>0,得出当x=3时,y=−47是极小值。 (2) 函数定义域为(−1, +∞),在(−1, +∞)内可导, y′=1−1+x1,y′′=(1+x)21 (x>−1),令y′=0,得x=0,当x=0时,y′′=1>0, 得出当x=0时,y=0是极小值。 (3) y′=−4x3+4x=−4x(x2−1),y′′=−12x2+4,令y′=0,得x1=−1,x2=1,x3=0, 当x=−1时,y′′=−8<0,得出当x=−1时,y=1是极大值, 当x=1时,y′′=−8<0,得出当x=1时,y=1是极大值, 当x=0时,y′′=4>0,得出当x=0时,y=0是极小值。 (4) 函数定义域为(−∞, 1],在(−∞, −1)内可导, y′=1−21−x1=21−x21−x−1,y′′=−4(1−x)31 令y′=0,得x=43,当x=43时,y′′=−2<0,得出当x=43时,y=45是极大值。 (5) y′=4+5x234+5x2−(1+3x)⋅24+5x210x=(4+5x2)312−5x=(4+5x2)3−5(x−512), 令y′=0,得x=512,当−∞<x<512时,y′>0,所以函数在(−∞, 512]上单调增加, 当512<x<+∞时,y′<0,所以函数在[512, +∞)上单调减少,所以y(512)=10205是极大值。 (6) y′=(x2+x+1)2(6x+4)(x2+x+1)−(2x+1)(3x2+4x+4)=(x2+x+1)2−x(x+2), 令y′=0,得x1=−2,x2=0,当−∞<x<−2时,y′<0,所以函数在(−∞, −2]上单调减少, 当−2<x<0时,y′>0,所以函数在[−2, 0]上单调增加, 当0<x<+∞时,y′<0,所以函数在[0, +∞)上单调减少,得出y(−2)=38是极小值,y(0)=4是极大值。 (7) y′=excos x−exsin x=ex(cos x−sin x),y′′=−2exsin x,令y′=0,得xk=2kπ+4π, xk′=2kπ+45π (k=0,±1,±2,⋅⋅⋅), 当x=2kπ+4π时,y′′=−2e2kπ+4π<0,得出当x=2kπ+4π时,y=22e2kπ+4π (k=0,±1,±2,⋅⋅⋅)是极大值, 当x=2kπ+45π时,y′′=2e2kπ+45π>0,得出当x=2kπ+45π时,y=2−2e2kπ+45π (k=0,±1,±2,⋅⋅⋅)是极小值。 (8) 函数的定义域为(0, +∞),在(0, +∞)内可导, y′=(ex1ln x)′=ex1ln x⋅x21−ln x=xx1−2(1−ln x),令y′=0,得x=e, 当0<x<e时,y′>0,所以函数在(0, e]上单调增加, 当e<x<+∞时,y′<0,所以函数在[e, +∞)上单调减少,得出y(e)=ee1是极大值。 (9) 当x=−1时,y′=−32⋅(x+1)31<0,因为x=−1时函数有定义,所以函数在(−∞, +∞)内单调减少, 没有极值。 (10) y′=1+sec2 x>0,所以函数在(−∞, +∞)内单调增加,没有极值。
2.试证明:如果函数y=ax3+bx2+cx+d满足条件b2−3ac<0,那么这函数没有极值。\begin{aligned}&2. \ 试证明:如果函数y=ax^3+bx^2+cx+d满足条件b^2-3ac \lt 0,那么这函数没有极值。&\end{aligned}2. 试证明:如果函数y=ax3+bx2+cx+d满足条件b2−3ac<0,那么这函数没有极值。
解:
y′=3ax2+2bx+c,由b2−3ac<0可知a≠0,c≠0,Δ=(2b)2−4(3a)c=4(b2−3ac)<0,当a>0时,y′图像开口向上,且在x轴上方,所以y′>0,函数在(−∞,+∞)内单调增加,当a<0时,y′图像开口向下,且在x轴下方,所以y′<0,函数在(−∞,+∞)内单调减少,所以,只要b2−3ac<0,函数在(−∞,+∞)内单调,且没有极值。\begin{aligned} &\ \ y'=3ax^2+2bx+c,由b^2-3ac \lt 0可知a \neq 0,c \neq 0,\Delta=(2b)^2-4(3a)c=4(b^2-3ac) \lt 0,\\\\ &\ \ 当a \gt 0时,y'图像开口向上,且在x轴上方,所以y' \gt 0,函数在(-\infty, \ +\infty)内单调增加,\\\\ &\ \ 当a \lt 0时,y'图像开口向下,且在x轴下方,所以y' \lt 0,函数在(-\infty, \ +\infty)内单调减少,\\\\ &\ \ 所以,只要b^2-3ac \lt 0,函数在(-\infty, \ +\infty)内单调,且没有极值。 & \end{aligned} y′=3ax2+2bx+c,由b2−3ac<0可知a=0,c=0,Δ=(2b)2−4(3a)c=4(b2−3ac)<0, 当a>0时,y′图像开口向上,且在x轴上方,所以y′>0,函数在(−∞, +∞)内单调增加, 当a<0时,y′图像开口向下,且在x轴下方,所以y′<0,函数在(−∞, +∞)内单调减少, 所以,只要b2−3ac<0,函数在(−∞, +∞)内单调,且没有极值。
3.试问a为何值时,函数f(x)=asinx+13sin3x在x=π3处取得极值?它是极大值还是极小值?并求此极值。\begin{aligned}&3. \ 试问a为何值时,函数f(x)=asin\ x+\frac{1}{3}sin\ 3x在x=\frac{\pi}{3}处取得极值?它是极大值还是极小值?并求此极值。&\end{aligned}3. 试问a为何值时,函数f(x)=asin x+31sin 3x在x=3π处取得极值?它是极大值还是极小值?并求此极值。
解:
f′(x)=acosx+cos3x,f(x)在x=π3处取得极值,f′(π3)=0,即acosπ3+cosπ=0,得a=2,f′′(x)=−2sinx−3sin3x,f′′(π3)=−2sinπ3−3sinπ=−3<0,所以,f(π3)=2sinπ3+13sinπ=3是极大值。\begin{aligned} &\ \ f'(x)=acos\ x+cos\ 3x,f(x)在x=\frac{\pi}{3}处取得极值,f'\left(\frac{\pi}{3}\right)=0,即acos\ \frac{\pi}{3}+cos\ \pi=0,得a=2,\\\\ &\ \ f''(x)=-2sin\ x-3sin\ 3x,f''\left(\frac{\pi}{3}\right)=-2sin\ \frac{\pi}{3}-3sin\ \pi=-\sqrt{3} \lt 0,所以,\\\\ &\ \ f\left(\frac{\pi}{3}\right)=2sin\ \frac{\pi}{3}+\frac{1}{3}sin\ \pi=\sqrt{3}是极大值。 & \end{aligned} f′(x)=acos x+cos 3x,f(x)在x=3π处取得极值,f′(3π)=0,即acos 3π+cos π=0,得a=2, f′′(x)=−2sin x−3sin 3x,f′′(3π)=−2sin 3π−3sin π=−3<0,所以, f(3π)=2sin 3π+31sin π=3是极大值。
4.设函数f(x)在x0处有n阶导数,且f′(x0)=f′′(x0)=⋅⋅⋅=f(n−1)(x0)=0,f(n)(x0)≠0,证明:\begin{aligned}&4. \ 设函数f(x)在x_0处有n阶导数,且f'(x_0)=f''(x_0)=\cdot\cdot\cdot=f^{(n-1)}(x_0)=0,f^{(n)}(x_0) \neq 0,证明:&\end{aligned}4. 设函数f(x)在x0处有n阶导数,且f′(x0)=f′′(x0)=⋅⋅⋅=f(n−1)(x0)=0,f(n)(x0)=0,证明:
(1)当n为奇数时,f(x)在x0处不取得极值;(2)当n为偶数时,f(x)在x0处取得极值,且当f(n)(x0)<0时,f(x0)为极大值,当f(n)(x0)>0时,f(x0)为极小值。\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ 当n为奇数时,f(x)在x_0处不取得极值;\\\\ &\ \ (2)\ \ 当n为偶数时,f(x)在x_0处取得极值,且当f^{(n)}(x_0) \lt 0时,f(x_0)为极大值,当f^{(n)}(x_0) \gt 0时,f(x_0)为极小值。 & \end{aligned} (1) 当n为奇数时,f(x)在x0处不取得极值; (2) 当n为偶数时,f(x)在x0处取得极值,且当f(n)(x0)<0时,f(x0)为极大值,当f(n)(x0)>0时,f(x0)为极小值。
解:
由含佩亚诺余项的n阶泰勒公式和已知,可得f(x)=f(x0)+f(n)(x0)n!(x−x0)n+o((x−x0)n),即f(x)−f(x0)=f(n)(x0)n!(x−x0)n+o((x−x0)n),得知f(x)−f(x0)在x0某邻域内的符号由f(n)(x0)n!(x−x0)n在某邻域内的符号决定。(1)当n为奇数时,(x−x0)n在x0两侧异号,所以f(n)(x0)n!(x−x0)n在x0两侧异号,即f(x)−f(x0)在x0两侧异号,所以f(x)在x0处不取得极值。(2)当n为偶数时,在x0两侧(x−x0)n>0,如果f(n)(x0)<0,则f(n)(x0)n!(x−x0)n<0,f(x)−f(x0)<0,即f(x)<f(x0),所以f(x0)是极大值,如果f(n)(x0)>0,则f(n)(x0)n!(x−x0)n>0,f(x)−f(x0)>0,即f(x)>f(x0),所以f(x0)是极小值。\begin{aligned} &\ \ 由含佩亚诺余项的n阶泰勒公式和已知,可得f(x)=f(x_0)+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n),\\\\ &\ \ 即f(x)-f(x_0)=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n),得知f(x)-f(x_0)在x_0某邻域内的符号\\\\ &\ \ 由\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n在某邻域内的符号决定。\\\\ &\ \ (1)\ 当n为奇数时,(x-x_0)^n在x_0两侧异号,所以\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n在x_0两侧异号,即f(x)-f(x_0)在x_0两侧异号,\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 所以f(x)在x_0处不取得极值。\\\\ &\ \ (2)\ 当n为偶数时,在x_0两侧(x-x_0)^n \gt 0,如果f^{(n)}(x_0) \lt 0,则\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \lt 0,f(x)-f(x_0) \lt 0,\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 即f(x) \lt f(x_0),所以f(x_0)是极大值,\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 如果f^{(n)}(x_0) \gt 0,则\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \gt 0,f(x)-f(x_0) \gt 0,\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 即f(x) \gt f(x_0),所以f(x_0)是极小值。 & \end{aligned} 由含佩亚诺余项的n阶泰勒公式和已知,可得f(x)=f(x0)+n!f(n)(x0)(x−x0)n+o((x−x0)n), 即f(x)−f(x0)=n!f(n)(x0)(x−x0)n+o((x−x0)n),得知f(x)−f(x0)在x0某邻域内的符号 由n!f(n)(x0)(x−x0)n在某邻域内的符号决定。 (1) 当n为奇数时,(x−x0)n在x0两侧异号,所以n!f(n)(x0)(x−x0)n在x0两侧异号,即f(x)−f(x0)在x0两侧异号, 所以f(x)在x0处不取得极值。 (2) 当n为偶数时,在x0两侧(x−x0)n>0,如果f(n)(x0)<0,则n!f(n)(x0)(x−x0)n<0,f(x)−f(x0)<0, 即f(x)<f(x0),所以f(x0)是极大值, 如果f(n)(x0)>0,则n!f(n)(x0)(x−x0)n>0,f(x)−f(x0)>0, 即f(x)>f(x0),所以f(x0)是极小值。
5.试利用习题4的结论,讨论函数f(x)=ex+e−x+2cosx的极值。\begin{aligned}&5. \ 试利用习题4的结论,讨论函数f(x)=e^x+e^{-x}+2cos\ x的极值。&\end{aligned}5. 试利用习题4的结论,讨论函数f(x)=ex+e−x+2cos x的极值。
解:
f′(x)=ex−e−x−2sinx,f′′(x)=ex+e−x−2cosx,f′′′(x)=ex−e−x+2sinx,f(4)(x)=ex+e−x+2cosx,所以f′(0)=f′′(0)=f′′′(0)=0,f(4)(0)=4>0,函数f(x)在x=0处有极小值,为4\begin{aligned} &\ \ f'(x)=e^x-e^{-x}-2sin\ x,f''(x)=e^x+e^{-x}-2cos\ x,f'''(x)=e^x-e^{-x}+2sin\ x,f^{(4)}(x)=e^x+e^{-x}+2cos\ x,\\\\ &\ \ 所以f'(0)=f''(0)=f'''(0)=0,f^{(4)}(0)=4 \gt 0,函数f(x)在x=0处有极小值,为4 & \end{aligned} f′(x)=ex−e−x−2sin x,f′′(x)=ex+e−x−2cos x,f′′′(x)=ex−e−x+2sin x,f(4)(x)=ex+e−x+2cos x, 所以f′(0)=f′′(0)=f′′′(0)=0,f(4)(0)=4>0,函数f(x)在x=0处有极小值,为4
6.求下列函数的最大值、最小值:\begin{aligned}&6. \ 求下列函数的最大值、最小值:&\end{aligned}6. 求下列函数的最大值、最小值:
(1)y=2x3−3x2,−1≤x≤4; (2)y=x4−8x2+2,−1≤x≤3;(3)y=x+1−x,−5≤x≤1.\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ y=2x^3-3x^2,-1 \le x \le 4;\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ y=x^4-8x^2+2,-1 \le x \le 3;\\\\ &\ \ (3)\ \ y=x+\sqrt{1-x},-5 \le x \le 1. & \end{aligned} (1) y=2x3−3x2,−1≤x≤4; (2) y=x4−8x2+2,−1≤x≤3; (3) y=x+1−x,−5≤x≤1.
解:
(1)函数在[−1,4]上可导,y′=6x2−6x=6x(x−1),令y′=0,得x1=0,x2=1,当x=−1时,y=−5,当x=0时,y=0,当x=1时,y=−1,当x=4时,y=80,所以函数得最大值为x=4时,y=80,最小值为x=−1时,y=−5。(2)函数在[−1,3]上可导,y′=4x3−16x=4x(x−2)(x+2),令y′=0,得x1=−2,x2=0,x3=2,当x=−1时,y=−5,当x=0时,y=2,当x=2时,y=−14,当x=3时,y=11,所以函数得最大值为当x=3时,y=11,最小值为当x=2时,y=−14。(3)函数在[−5,1)上可导,y′=1−121−x=21−x−121−x,令y′=0,得x=34,当x=−5时,y=−5+6,当x=34时,y=54,当x=1时,y=1,函数得最大值为当x=34时,y=54,最小值为当x=−5时,y=−5+6。\begin{aligned} &\ \ (1)\ 函数在[-1, \ 4]上可导,y'=6x^2-6x=6x(x-1),令y'=0,得x_1=0,x_2=1,\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当x=-1时,y=-5,当x=0时,y=0,当x=1时,y=-1,当x=4时,y=80,\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 所以函数得最大值为x=4时,y=80,最小值为x=-1时,y=-5。\\\\ &\ \ (2)\ 函数在[-1, \ 3]上可导,y'=4x^3-16x=4x(x-2)(x+2),令y'=0,得x_1=-2,x_2=0,x_3=2,\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当x=-1时,y=-5,当x=0时,y=2,当x=2时,y=-14,当x=3时,y=11,\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 所以函数得最大值为当x=3时,y=11,最小值为当x=2时,y=-14。\\\\ &\ \ (3)\ 函数在[-5, \ 1)上可导,y'=1-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}=\frac{2\sqrt{1-x}-1}{2\sqrt{1-x}},\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 令y'=0,得x=\frac{3}{4},当x=-5时,y=-5+\sqrt{6},当x=\frac{3}{4}时,y=\frac{5}{4},\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当x=1时,y=1,函数得最大值为当x=\frac{3}{4}时,y=\frac{5}{4},最小值为当x=-5时,y=-5+\sqrt{6}。 & \end{aligned} (1) 函数在[−1, 4]上可导,y′=6x2−6x=6x(x−1),令y′=0,得x1=0,x2=1, 当x=−1时,y=−5,当x=0时,y=0,当x=1时,y=−1,当x=4时,y=80, 所以函数得最大值为x=4时,y=80,最小值为x=−1时,y=−5。 (2) 函数在[−1, 3]上可导,y′=4x3−16x=4x(x−2)(x+2),令y′=0,得x1=−2,x2=0,x3=2, 当x=−1时,y=−5,当x=0时,y=2,当x=2时,y=−14,当x=3时,y=11, 所以函数得最大值为当x=3时,y=11,最小值为当x=2时,y=−14。 (3) 函数在[−5, 1)上可导,y′=1−21−x1=21−x21−x−1, 令y′=0,得x=43,当x=−5时,y=−5+6,当x=43时,y=45, 当x=1时,y=1,函数得最大值为当x=43时,y=45,最小值为当x=−5时,y=−5+6。
7.问函数y=2x3−6x2−18−7(1≤x≤4)在何处取得最大值?并求出它的最大值。\begin{aligned}&7. \ 问函数y=2x^3-6x^2-18-7\ (1 \le x \le 4)在何处取得最大值?并求出它的最大值。&\end{aligned}7. 问函数y=2x3−6x2−18−7 (1≤x≤4)在何处取得最大值?并求出它的最大值。
解:
函数在[1,4]上可导,y′=6x2−12x−18=6(x+1)(x−3),令y′=0,得x1=−1,x2=3,当x=1时,y=−29,当x=3时,y=−61,当x=4时,y=−47,函数得最大值为当x=1时,y=−29。\begin{aligned} &\ \ 函数在[1, \ 4]上可导,y'=6x^2-12x-18=6(x+1)(x-3),令y'=0,得x_1=-1,x_2=3,\\\\ &\ \ 当x=1时,y=-29,当x=3时,y=-61,当x=4时,y=-47,函数得最大值为当x=1时,y=-29。 & \end{aligned} 函数在[1, 4]上可导,y′=6x2−12x−18=6(x+1)(x−3),令y′=0,得x1=−1,x2=3, 当x=1时,y=−29,当x=3时,y=−61,当x=4时,y=−47,函数得最大值为当x=1时,y=−29。
8.问函数y=x2−54x(x<0)在何处取得最小值?\begin{aligned}&8. \ 问函数y=x^2-\frac{54}{x}\ (x \lt 0)在何处取得最小值?&\end{aligned}8. 问函数y=x2−x54 (x<0)在何处取得最小值?
解:
函数在(−∞,0)内可导,y′=2x+54x2=2(x3+27)x2,y′′=2−108x3,令y′=0,得x=−3,当x=−3时,y′′=6>0,所以x=−3是极小值点,因函数在(−∞,0)内驻点唯一,所以极小值点就是最小值点,当x=−3时,y=27。\begin{aligned} &\ \ 函数在(-\infty, \ 0)内可导,y'=2x+\frac{54}{x^2}=\frac{2(x^3+27)}{x^2},y''=2-\frac{108}{x^3},\\\\ &\ \ 令y'=0,得x=-3,当x=-3时,y''=6 \gt 0,所以x=-3是极小值点,因函数在(-\infty, \ 0)内驻点唯一,\\\\ &\ \ 所以极小值点就是最小值点,当x=-3时,y=27。 & \end{aligned} 函数在(−∞, 0)内可导,y′=2x+x254=x22(x3+27),y′′=2−x3108, 令y′=0,得x=−3,当x=−3时,y′′=6>0,所以x=−3是极小值点,因函数在(−∞, 0)内驻点唯一, 所以极小值点就是最小值点,当x=−3时,y=27。
9.问函数y=xx2+1(x≥0)在何处取得最大值?\begin{aligned}&9. \ 问函数y=\frac{x}{x^2+1}\ (x \ge 0)在何处取得最大值?&\end{aligned}9. 问函数y=x2+1x (x≥0)在何处取得最大值?
解:
函数在[0,+∞)上可导,y′=x2+1−x⋅2x(x2+1)2=1−x2(x2+1)2,y′′=−2x(3−x2)(x2+1)3,令y′=0,得x1=−1,x2=1,当x=1时,y′′=−12<0,得出x=1是极大值点,因函数在[0,+∞)上驻点唯一,所以极大值点就是最大值点,当x=1时,y=12。\begin{aligned} &\ \ 函数在[0, \ +\infty)上可导,y'=\frac{x^2+1-x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2},y''=\frac{-2x(3-x^2)}{(x^2+1)^3},\\\\ &\ \ 令y'=0,得x_1=-1,x_2=1,当x=1时,y''=-\frac{1}{2} \lt 0,得出x=1是极大值点,\\\\ &\ \ 因函数在[0, \ +\infty)上驻点唯一,所以极大值点就是最大值点,当x=1时,y=\frac{1}{2}。 & \end{aligned} 函数在[0, +∞)上可导,y′=(x2+1)2x2+1−x⋅2x=(x2+1)21−x2,y′′=(x2+1)3−2x(3−x2), 令y′=0,得x1=−1,x2=1,当x=1时,y′′=−21<0,得出x=1是极大值点, 因函数在[0, +∞)上驻点唯一,所以极大值点就是最大值点,当x=1时,y=21。
10.某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20m长得墙壁,问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大?\begin{aligned}&10. \ 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20m长得墙壁,问应围成怎样的长方形才能\\\\&\ \ \ \ \ \ 使这间小屋的面积最大?&\end{aligned}10. 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20m长得墙壁,问应围成怎样的长方形才能 使这间小屋的面积最大?
解:
设小屋的宽为x,长为y,小屋面积S=xy,已知2x+y=20,y=20−2x,所以S=x(20−2x)=20x−2x2,x∈(0,10),则S′=20−4x,S′′=−4,令S′=0,得x=5,当x=5时,S′′<0,所以x=5为极大值点,因驻点唯一,极大值点就是最大值点,当x=5时,y=10,即宽为5m,长为10m时小屋面积最大。\begin{aligned} &\ \ 设小屋的宽为x,长为y,小屋面积S=xy,已知2x+y=20,y=20-2x,所以\\\\ &\ \ S=x(20-2x)=20x-2x^2,x \in (0, \ 10),则S'=20-4x,S''=-4,令S'=0,得x=5,\\\\ &\ \ 当x=5时,S'' \lt 0,所以x=5为极大值点,因驻点唯一,极大值点就是最大值点,\\\\ &\ \ 当x=5时,y=10,即宽为5m,长为10m时小屋面积最大。 & \end{aligned} 设小屋的宽为x,长为y,小屋面积S=xy,已知2x+y=20,y=20−2x,所以 S=x(20−2x)=20x−2x2,x∈(0, 10),则S′=20−4x,S′′=−4,令S′=0,得x=5, 当x=5时,S′′<0,所以x=5为极大值点,因驻点唯一,极大值点就是最大值点, 当x=5时,y=10,即宽为5m,长为10m时小屋面积最大。
11.要造一圆柱形油罐,体积为V,问底半径r和高h各等于多少时,才能使表面积最小?这时底直径与高的比是多少?\begin{aligned}&11. \ 要造一圆柱形油罐,体积为V,问底半径r和高h各等于多少时,才能使表面积最小?\\\\&\ \ \ \ \ \ 这时底直径与高的比是多少?&\end{aligned}11. 要造一圆柱形油罐,体积为V,问底半径r和高h各等于多少时,才能使表面积最小? 这时底直径与高的比是多少?
解:
已知V=πr2h,h=Vπr2,油罐表面积S=2πr2+2πrh=2πr2+2πr⋅Vπr2=2πr2+2Vr,r∈(0,+∞),S′=4πr−2Vr2,S′′=4π+4Vr3,令S′=0,得r=V2π3,当r=V2π3时,S′′=12π>0,得r=V2π3是极小值点,因驻点唯一,所以极小值点就是最小值点,h=Vπr2=2r,即2r:h=1:1,所以当底半径为V2π3,高为2V2π3时,能使表面积最小,这时底直径与高的比是1:1.\begin{aligned} &\ \ 已知V=\pi r^2h,h=\frac{V}{\pi r^2},油罐表面积S=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r^2+2\pi r \cdot \frac{V}{\pi r^2}=2\pi r^2+\frac{2V}{r},r \in (0, \ +\infty),\\\\ &\ \ S'=4\pi r-\frac{2V}{r^2},S''=4\pi+\frac{4V}{r^3},令S'=0,得r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}},当r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}时,S''=12\pi \gt 0,\\\\ &\ \ 得r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}是极小值点,因驻点唯一,所以极小值点就是最小值点,h=\frac{V}{\pi r^2}=2r,即2r:h=1:1,\\\\ &\ \ 所以当底半径为\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}},高为2\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}时,能使表面积最小,这时底直径与高的比是1:1. & \end{aligned} 已知V=πr2h,h=πr2V,油罐表面积S=2πr2+2πrh=2πr2+2πr⋅πr2V=2πr2+r2V,r∈(0, +∞), S′=4πr−r22V,S′′=4π+r34V,令S′=0,得r=32πV,当r=32πV时,S′′=12π>0, 得r=32πV是极小值点,因驻点唯一,所以极小值点就是最小值点,h=πr2V=2r,即2r:h=1:1, 所以当底半径为32πV,高为232πV时,能使表面积最小,这时底直径与高的比是1:1.
12.某地区防空洞得截面拟建成矩形加半圆(图3−19).截面得面积为5m2,问底宽x为多少时才能使截面的周长最小,从而使建造时所用的材料最省?\begin{aligned}&12. \ 某地区防空洞得截面拟建成矩形加半圆(图3-19).截面得面积为5m^2,问底宽x为多少\\\\&\ \ \ \ \ \ 时才能使截面的周长最小,从而使建造时所用的材料最省?&\end{aligned}12. 某地区防空洞得截面拟建成矩形加半圆(图3−19).截面得面积为5m2,问底宽x为多少 时才能使截面的周长最小,从而使建造时所用的材料最省?
解:
设截面周长为l,l=x+2y+π2x,xy+π2(x2)2=5,即y=5x−π8x,所以l=x+π4x+10x,x∈(0,40π),l′=l+π4−10x2,l′′=20x3,令l′=0,得x=404+π,当x=404+π时,l′′=20(404+π)3>0,所以x=404+π是极小值点,又因驻点唯一,所以极小值点就是最小值点,当截面的底宽x=404+π时,能使截面的周长最小,从而使建造时所用的材料最省。\begin{aligned} &\ \ 设截面周长为l,l=x+2y+\frac{\pi}{2}x,xy+\frac{\pi}{2}\left(\frac{x}{2}\right)^2=5,即y=\frac{5}{x}-\frac{\pi}{8}x,\\\\ &\ \ 所以l=x+\frac{\pi}{4}x+\frac{10}{x},x \in \left(0, \ \sqrt{\frac{40}{\pi}}\right),l'=l+\frac{\pi}{4}-\frac{10}{x^2},l''=\frac{20}{x^3},\\\\ &\ \ 令l'=0,得x=\sqrt{\frac{40}{4+\pi}},当x=\sqrt{\frac{40}{4+\pi}}时,l''=\frac{20}{\sqrt{\left(\frac{40}{4+\pi}\right)^3}} \gt 0,所以x=\sqrt{\frac{40}{4+\pi}}是极小值点,\\\\ &\ \ 又因驻点唯一,所以极小值点就是最小值点,当截面的底宽x=\sqrt{\frac{40}{4+\pi}}时,能使截面的周长最小,\\\\ &\ \ 从而使建造时所用的材料最省。 & \end{aligned} 设截面周长为l,l=x+2y+2πx,xy+2π(2x)2=5,即y=x5−8πx, 所以l=x+4πx+x10,x∈(0, π40),l′=l+4π−x210,l′′=x320, 令l′=0,得x=4+π40,当x=4+π40时,l′′=(4+π40)320>0,所以x=4+π40是极小值点, 又因驻点唯一,所以极小值点就是最小值点,当截面的底宽x=4+π40时,能使截面的周长最小, 从而使建造时所用的材料最省。
13.设有质量为5kg的物体,置于水平面上,受力F的作用而开始移动(图3−20),设摩擦系数μ=0.25,问力F与水平线的交角α为多少时,才可使力F的大小为最小。\begin{aligned}&13. \ 设有质量为5kg的物体,置于水平面上,受力F的作用而开始移动(图3-20),设摩擦系数\mu=0.25,\\\\&\ \ \ \ \ \ 问力F与水平线的交角\alpha为多少时,才可使力F的大小为最小。&\end{aligned}13. 设有质量为5kg的物体,置于水平面上,受力F的作用而开始移动(图3−20),设摩擦系数μ=0.25, 问力F与水平线的交角α为多少时,才可使力F的大小为最小。
解:
力的大小用∣F∣表示,由∣F∣cosα=(P−∣F∣sinα)μ知,∣F∣=μPcosα+μsinα,α∈[0,π2),设y=cosα+μsinα,α∈[0,π2),y′=−sinα+μcosα,令y′=0,得α0=arctanμ,当α=α0时,y′′=−cosα0−μsinα0<0,所以α0是极大值点,又因驻点唯一,所以α0是y=y(α)的最大值点,即α=arctan(0.25),力F的大小为最小。\begin{aligned} &\ \ 力的大小用|F|表示,由|F|cos\ \alpha=(P-|F|sin\ \alpha)\mu知,|F|=\frac{\mu P}{cos\ \alpha+\mu sin\ \alpha},\alpha \in \left[0, \ \frac{\pi}{2}\right),\\\\ &\ \ 设y=cos\ \alpha+\mu sin\ \alpha,\alpha \in \left[0, \ \frac{\pi}{2}\right),y'=-sin\ \alpha+\mu cos\ \alpha,令y'=0,得\alpha_0=arctan\ \mu,\\\\ &\ \ 当\alpha=\alpha_0时,y''=-cos\ \alpha_0-\mu sin\ \alpha_0 \lt 0,所以\alpha_0是极大值点,又因驻点唯一,所以\alpha_0是y=y(\alpha)的最大值点,\\\\ &\ \ 即\alpha=arctan(0.25),力F的大小为最小。 & \end{aligned} 力的大小用∣F∣表示,由∣F∣cos α=(P−∣F∣sin α)μ知,∣F∣=cos α+μsin αμP,α∈[0, 2π), 设y=cos α+μsin α,α∈[0, 2π),y′=−sin α+μcos α,令y′=0,得α0=arctan μ, 当α=α0时,y′′=−cos α0−μsin α0<0,所以α0是极大值点,又因驻点唯一,所以α0是y=y(α)的最大值点, 即α=arctan(0.25),力F的大小为最小。
14.有一杠杆,支点在它的一端,在距支点0.1m处挂一质量为49kg的物体,加力于杠杆的另一端使杠杆保持水平(图3−21),如果杠杆的线密度为5kg/m,求最省力的杆长?\begin{aligned}&14. \ 有一杠杆,支点在它的一端,在距支点0.1m处挂一质量为49kg的物体,加力于杠杆的另一端使杠杆\\\\&\ \ \ \ \ \ 保持水平(图3-21),如果杠杆的线密度为5kg/m,求最省力的杆长?&\end{aligned}14. 有一杠杆,支点在它的一端,在距支点0.1m处挂一质量为49kg的物体,加力于杠杆的另一端使杠杆 保持水平(图3−21),如果杠杆的线密度为5kg/m,求最省力的杆长?
解:
设省力杆长为x,则此时杠杆的重力为5gx,力矩平衡公式x∣F∣=49g×0.1+5gx⋅x2(x>0),可知∣F∣=4.9xg+52gx,∣F∣′=−4.9x2g+52g,∣F∣′′=9.8x3g,令∣F∣′=0,得x=1.4,当x=1.4时,∣F∣′′=9.8(1.4)3g>0,所以x=1.4是极小值点,又因驻点唯一,所以极小值点也是最小值点,即杆长为1.4m时最省力。\begin{aligned} &\ \ 设省力杆长为x,则此时杠杆的重力为5gx,力矩平衡公式x|F|=49g\times 0.1+5gx \cdot \frac{x}{2}\ (x \gt 0),\\\\ &\ \ 可知|F|=\frac{4.9}{x}g+\frac{5}{2}gx,|F|'=-\frac{4.9}{x^2}g+\frac{5}{2}g,|F|''=\frac{9.8}{x^3}g,令|F|'=0,得x=1.4,\\\\ &\ \ 当x=1.4时,|F|''=\frac{9.8}{(1.4)^3}g \gt 0,所以x=1.4是极小值点,又因驻点唯一,所以极小值点也是最小值点,\\\\ &\ \ 即杆长为1.4m时最省力。 & \end{aligned} 设省力杆长为x,则此时杠杆的重力为5gx,力矩平衡公式x∣F∣=49g×0.1+5gx⋅2x (x>0), 可知∣F∣=x4.9g+25gx,∣F∣′=−x24.9g+25g,∣F∣′′=x39.8g,令∣F∣′=0,得x=1.4, 当x=1.4时,∣F∣′′=(1.4)39.8g>0,所以x=1.4是极小值点,又因驻点唯一,所以极小值点也是最小值点, 即杆长为1.4m时最省力。
15.从一块半径为R得圆铁片上剪去一个扇形做成一个漏斗(图3−22),问留下得扇形的圆心角φ取多大时,做成的漏斗的容积最大?\begin{aligned}&15. \ 从一块半径为R得圆铁片上剪去一个扇形做成一个漏斗(图3-22),问留下得扇形的圆心角\varphi取\\\\&\ \ \ \ \ \ 多大时,做成的漏斗的容积最大?&\end{aligned}15. 从一块半径为R得圆铁片上剪去一个扇形做成一个漏斗(图3−22),问留下得扇形的圆心角φ取 多大时,做成的漏斗的容积最大?
解:
设漏斗高为h,顶面的圆半径为r,漏斗容积V=13πr2h,已知2πr=Rφ,h=R2−r2,得V=R324π24π2φ4−φ6(0<φ<2π),V′=R324π2⋅16π2φ3−6φ524π2φ4−φ6=R324π2⋅8π2φ−3φ34π2−φ2,令V′=0,得φ=83π=263π,当0<φ<263π时,V′>0,所以V在[0,263π]内单调增加,当263π<φ<2π时,V′<0,所以V在[263π,2π)内单调减少,所以φ=263π是极大值点,又因驻点唯一,极大值点也是最大值点,即当φ=263π时,漏斗容积最大。\begin{aligned} &\ \ 设漏斗高为h,顶面的圆半径为r,漏斗容积V=\frac{1}{3}\pi r^2h,已知2\pi r=R\varphi,h=\sqrt{R^2-r^2},\\\\ &\ \ 得V=\frac{R^3}{24\pi^2}\sqrt{4\pi^2\varphi^4-\varphi^6}\ (0 \lt \varphi \lt 2\pi),V'=\frac{R^3}{24\pi^2}\cdot \frac{16\pi^2\varphi^3-6\varphi^5}{2\sqrt{4\pi^2\varphi^4-\varphi^6}}=\frac{R^3}{24\pi^2}\cdot \frac{8\pi^2\varphi-3\varphi^3}{\sqrt{4\pi^2-\varphi^2}},\\\\ &\ \ 令V'=0,得\varphi=\sqrt{\frac{8}{3}}\pi=\frac{2\sqrt{6}}{3}\pi,当0 \lt \varphi \lt \frac{2\sqrt{6}}{3}\pi时,V' \gt 0,所以V在\left[0, \ \frac{2\sqrt{6}}{3}\pi\right]内单调增加,\\\\ &\ \ 当\frac{2\sqrt{6}}{3}\pi \lt \varphi \lt 2\pi时,V' \lt 0,所以V在\left[\frac{2\sqrt{6}}{3}\pi, \ 2\pi\right)内单调减少,所以\varphi=\frac{2\sqrt{6}}{3}\pi是极大值点,\\\\ &\ \ 又因驻点唯一,极大值点也是最大值点,即当\varphi=\frac{2\sqrt{6}}{3}\pi时,漏斗容积最大。 & \end{aligned} 设漏斗高为h,顶面的圆半径为r,漏斗容积V=31πr2h,已知2πr=Rφ,h=R2−r2, 得V=24π2R34π2φ4−φ6 (0<φ<2π),V′=24π2R3⋅24π2φ4−φ616π2φ3−6φ5=24π2R3⋅4π2−φ28π2φ−3φ3, 令V′=0,得φ=38π=326π,当0<φ<326π时,V′>0,所以V在[0, 326π]内单调增加, 当326π<φ<2π时,V′<0,所以V在[326π, 2π)内单调减少,所以φ=326π是极大值点, 又因驻点唯一,极大值点也是最大值点,即当φ=326π时,漏斗容积最大。
16.某吊车得车身高为1.5m,吊臂长15m,现在要把一个6m宽2m高得屋架(如图3−23(a)),水平地吊到6m高地柱子上去(如图3−23(b)),问能否吊得上去?\begin{aligned}&16. \ 某吊车得车身高为1.5m,吊臂长15m,现在要把一个6m宽2m高得屋架(如图3-23(a)),水平地\\\\&\ \ \ \ \ \ 吊到6m高地柱子上去(如图3-23(b)),问能否吊得上去?&\end{aligned}16. 某吊车得车身高为1.5m,吊臂长15m,现在要把一个6m宽2m高得屋架(如图3−23(a)),水平地 吊到6m高地柱子上去(如图3−23(b)),问能否吊得上去?
解:
设吊臂对地面的倾角为φ,屋架能够吊到最大的高度为h,由15sinφ=h−1.5+2+3tanφ可知,h=15sinφ−3tanφ−12,h′=15cosφ−3cos2φ,h′′=−15sinφ−6sinφcos3φ,令h′=0,得cosφ=153,即φ0=arccos153,当φ=φ0时,h′′<0,又因驻点唯一,所以φ0是极大值点也是最大值点,当φ0≈54∘13′时,h0=15sin54∘13′−3tan54∘13′−12≈7.5m,因为柱子高6m,所以能吊上去。\begin{aligned} &\ \ 设吊臂对地面的倾角为\varphi,屋架能够吊到最大的高度为h,由15sin\ \varphi=h-1.5+2+3tan\ \varphi可知,\\\\ &\ \ h=15sin\ \varphi-3tan\ \varphi-\frac{1}{2},h'=15cos\ \varphi-\frac{3}{cos^2\ \varphi},h''=-15sin\ \varphi-\frac{6sin\ \varphi}{cos^3\ \varphi},\\\\ &\ \ 令h'=0,得cos\ \varphi=\sqrt[3]{\frac{1}{5}},即\varphi_0=arccos\ \sqrt[3]{\frac{1}{5}},当\varphi=\varphi_0时,h'' \lt 0,又因驻点唯一,\\\\ &\ \ 所以\varphi_0是极大值点也是最大值点,当\varphi_0 \approx 54^{\circ}13'时,h_0=15sin\ 54^{\circ}13'-3tan\ 54^{\circ}13'-\frac{1}{2} \approx 7.5m,\\\\ &\ \ 因为柱子高6m,所以能吊上去。 & \end{aligned} 设吊臂对地面的倾角为φ,屋架能够吊到最大的高度为h,由15sin φ=h−1.5+2+3tan φ可知, h=15sin φ−3tan φ−21,h′=15cos φ−cos2 φ3,h′′=−15sin φ−cos3 φ6sin φ, 令h′=0,得cos φ=351,即φ0=arccos 351,当φ=φ0时,h′′<0,又因驻点唯一, 所以φ0是极大值点也是最大值点,当φ0≈54∘13′时,h0=15sin 54∘13′−3tan 54∘13′−21≈7.5m, 因为柱子高6m,所以能吊上去。
17.一房地产公司有50套公寓要出租,当月租金定为4000元时,公寓会全部租出去,当月租金每增加200元时,就会多一套公寓租不出去,而租出去得公寓平均每月需花费400元的维修费,试问房租定为多少可获得最大收入?\begin{aligned}&17. \ 一房地产公司有50套公寓要出租,当月租金定为4000元时,公寓会全部租出去,当月租金每增加200元\\\\&\ \ \ \ \ \ 时,就会多一套公寓租不出去,而租出去得公寓平均每月需花费400元的维修费,试问房租定为多少\\\\&\ \ \ \ \ \ 可获得最大收入?&\end{aligned}17. 一房地产公司有50套公寓要出租,当月租金定为4000元时,公寓会全部租出去,当月租金每增加200元 时,就会多一套公寓租不出去,而租出去得公寓平均每月需花费400元的维修费,试问房租定为多少 可获得最大收入?
解:
设每套月房租为x元,租不出去的房子套数为x−4000200=x200−20,租出去的套数为50−(x200−20)=70−x200,租出的每套房子获利(x−400)元,总利润y=(70−x200)(x−400)=−x2200+72x−28000,y’=−x100+72,y′′=−1100,令y′=0,得x=7200,当x=7200时,y′′<0,可知x=7200是极大值点,又因驻点唯一,极大值点就是最大值点,即当每套月房租定在7200元时,可获得最大收入。\begin{aligned} &\ \ 设每套月房租为x元,租不出去的房子套数为\frac{x-4000}{200}=\frac{x}{200}-20,租出去的套数为50-\left(\frac{x}{200}-20\right)=70-\frac{x}{200},\\\\ &\ \ 租出的每套房子获利(x-400)元,总利润y=\left(70-\frac{x}{200}\right)(x-400)=-\frac{x^2}{200}+72x-28000,\\\\ &\ \ y’=-\frac{x}{100}+72,y''=-\frac{1}{100},令y'=0,得x=7200,当x=7200时,y'' \lt 0,可知x=7200是极大值点,\\\\ &\ \ 又因驻点唯一,极大值点就是最大值点,即当每套月房租定在7200元时,可获得最大收入。 & \end{aligned} 设每套月房租为x元,租不出去的房子套数为200x−4000=200x−20,租出去的套数为50−(200x−20)=70−200x, 租出的每套房子获利(x−400)元,总利润y=(70−200x)(x−400)=−200x2+72x−28000, y’=−100x+72,y′′=−1001,令y′=0,得x=7200,当x=7200时,y′′<0,可知x=7200是极大值点, 又因驻点唯一,极大值点就是最大值点,即当每套月房租定在7200元时,可获得最大收入。
18.已知制作一个背包得成本为40元,如果每一个背包的售出价为x元,售出的背包数由n=ax−40+b(80−x)给出,其中a,b为正常数,问什么样的售出价格能带来最大利润?\begin{aligned}&18. \ 已知制作一个背包得成本为40元,如果每一个背包的售出价为x元,售出的背包数由\\\\&\ \ \ \ \ \ n=\frac{a}{x-40}+b(80-x)给出,其中a,b为正常数,问什么样的售出价格能带来最大利润?&\end{aligned}18. 已知制作一个背包得成本为40元,如果每一个背包的售出价为x元,售出的背包数由 n=x−40a+b(80−x)给出,其中a,b为正常数,问什么样的售出价格能带来最大利润?
解:
设利润为p,则p=(x−40)n=a+b(x−40)(80−x),p′=b(120−2x),令p′=0,得x=60,当x=60时,p′=−2b<0,可知x=60是极大值点,又因驻点唯一,极大值点就是最大值点,即售出价格定在60元时能带来最大利润。\begin{aligned} &\ \ 设利润为p,则p=(x-40)n=a+b(x-40)(80-x),p'=b(120-2x),令p'=0,得x=60,\\\\ &\ \ 当x=60时,p'=-2b \lt 0,可知x=60是极大值点,又因驻点唯一,极大值点就是最大值点,\\\\ &\ \ 即售出价格定在60元时能带来最大利润。 & \end{aligned} 设利润为p,则p=(x−40)n=a+b(x−40)(80−x),p′=b(120−2x),令p′=0,得x=60, 当x=60时,p′=−2b<0,可知x=60是极大值点,又因驻点唯一,极大值点就是最大值点, 即售出价格定在60元时能带来最大利润。
高等数学(第七版)同济大学 习题3-5 个人解答相关推荐
- 《高等数学》 第七版 同济大学
<高等数学> 第七版 同济大学 上册 第一章 函数与极限 第一节 映射与函数 一 映射 映射概念 法则 像 原像 定义域 值域 构成映射的三要素 满射[映射] 单射 双射[一一映射] 逆映 ...
- 高等数学第七版-习题解答:总复习3
习题解答:总复习3 18*. 已知f′′(x)f''(x)f′′(x)存在,证明 limx→x0f(x0+h)+f(x0−h)−2f(x0)h2=f′′(x0)\lim_{x \rightarrow ...
- 【课后习题】高等数学第七版下第十二章 无穷级数 第二节 常数项级数的审敛法
习题12-2 1. 用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性: (1) 1+13+15+⋯+1(2n−1)+⋯1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots+\frac ...
- 【课后习题】高等数学第七版上第三章 微分中值定理与导数的应用 第二节 洛必达法则
习题3-2 1. 用洛必达法则求下列极限: (1) limx→0ln(1+x)x\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)}{x}limx→0xln(1+x) ...
- 【课后习题】高等数学第七版上第一章 函数与极限 第六节 极限存在准则 两个重要极限
习题1-6 1. 计算下列极限: (1) limx→0sinωxx\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \omega x}{x}limx→0xsinωx; (2 ...
- 【课后习题】高等数学第七版下第九章 多元函数微分法及其应用 第九节 二元函数的泰勒公式
习题9-9 1. 求函数 f(x,y)=2x2−xy−y2−6x−3y+5f(x, y)=2 x^2-x y-y^2-6 x-3 y+5f(x,y)=2x2−xy−y2−6x−3y+5 在点 (1,− ...
- 高等数学(上)(第七版 同济大学) 笔记 :函数
第一章 函数与极限 第一节 映射与函数 二.函数 (1)函数是特殊的映射,只不过把X集合换成了实数R的子集,把集合Y换成了实数集合R. (2)分段函数是常见的函数. (3)函数的特性 有界性 ...
- 高等数学(上)(第七版 同济大学) 笔记 :映射
第一章 函数与极限 第一节 映射与函数 一.映射 1.定义:两个非空集合X,Y,存在法则 f,使X中每个元素 x 按照法则 f 都有唯一确定的 y 与之对应,那么 f 称为从X到Y的映射, ...
- 计算机网络谢希仁第七版课后习题答案(第四章)
4-1 网络层向上提供的服务有哪两种?是比较其优缺点. 网络层向运输层提供 "面向连接"虚电路(Virtual Circuit)服务或"无连接"数据报服务前者预 ...
- 《计算机网络》学习笔记----第七版课后习题参考答案 第四章
1.网络层向上提供的服务有哪两种?是比较其优缺点.网络层向运输层提供 "面向连接"虚电路(Virtual Circuit)服务或"无连接"数据报服务前者预约了双 ...
最新文章
- 揭秘互联网人群层级,你属于第几级?
- keystonejs富文本问题及思考过程
- linux游戏脚本,ubuntu 新手一键配置脚本
- SQL Server 2008 阻止保存要求重新创建表的更改问题
- 我想自学编程技术,但是每天下班回来都很累了,没力气,怎么办?
- (19)ISE14.7软件生成bit失败永久解决方法(FPGA不积跬步101)
- OpenEphyra学习笔记1
- ofdm原理_5G进行时|5G NR物理层详解:原理、模型和组件
- robocode_Robocode大师的提示,技巧和建议的集合
- ABAQUS仿真——子弹冲击、热传导
- newifi mini php,WBB - Newifi mini刷小米路由mini固件 + 屏蔽广告Adbyby插件小记
- 山东理工大学oj打字速度测试
- win10计算机控制面板在哪里,Win10控制面板在哪里?Win10怎么打开控制面板?
- python 调用scp命令 实践
- 豆瓣 vs 知乎 vs 简书
- Navicat Premium 15使用教程
- 各大OJ刷题平台汇总
- Python flask渲染模板注入
- Property ‘next‘ does not exist on type ‘Component<any, {}, any>‘问题的解决方法
- 思维导图制作软件|mindmanager 2012 10.1汉化版 下载地址