二维傅里叶变换的矩阵表示

二维傅里叶变换公式
二维傅里叶矩阵公式表达
- 1. F(v,u)F(v,u)F(v,u) 为 R1×1R^{1\times1}R1×1 时
- 2. F(v,u)F(v,u)F(v,u) 为 RNv×MuR^{N_v\times M_u}RNv×Mu 时

说明： 做完了图像处理的实验报告，老师要求自己编二维傅里叶变换的算法，故不能用 Matlab 内置的 fft2 函数。循环求解会消耗大量的时间，考虑到 Matlab 的优势就在于矩阵运算，故有如下思考。
（如有笔误，欢迎指正；转载请通知作者并注明来源，谢谢亲噢~）

二维傅里叶变换公式

离散时间变量二维傅里叶变换(DFT)的原始公式为：
F(u,v)=∑x=0M−1∑y=0N−1f(x,y)e−j2π(xMu+yNv)F(u,v) = \sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi(\frac{x}{M}u+\frac{y}{N}v)}F(u,v)=x=0∑M−1y=0∑N−1f(x,y)e−j2π(Mxu+Nyv)
傅里叶变换具有可分性，所以我们有
F(u,v)=∑y=0N−1e−j2πyNv∑x=0M−1f(x,y)e−j2πxMuF(u,v) = \sum_{y=0}^{N-1}e^{-j2\pi\frac{y}{N}v}\sum_{x=0}^{M-1}f(x,y)e^{-j2\pi\frac{x}{M}u}F(u,v)=y=0∑N−1e−j2πNyvx=0∑M−1f(x,y)e−j2πMxu

二维傅里叶矩阵公式表达

我们可以将该式转换为矩阵表达的形式，这样可以方便我们进行代码编程(特别是 Matlab 编程)
由于 Matlab 显示图像的方式为：竖直向下为y轴正方向，而 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 当中 xxx 的取值是对纵坐标进行检索，表示行的行数----这与我们潜意识认为的横轴，即水平方向为 xxx 轴方向的惯性思维不一致，故我做出如下改动
F(v,u)=∑y=0N−1e−j2πyNv∑x=0M−1f(y,x)e−j2πxMuF(v,u) = \sum_{y=0}^{N-1}e^{-j2\pi\frac{y}{N}v}\sum_{x=0}^{M-1}f(y,x)e^{-j2\pi\frac{x}{M}u}F(v,u)=y=0∑N−1e−j2πNyvx=0∑M−1f(y,x)e−j2πMxu
即简单的调换一下变元的表达方式，本质计算上没有改变。

1. F(v,u)F(v,u)F(v,u) 为 R1×1R^{1\times1}R1×1 时

假设当 F(v,u)F(v,u)F(v,u) 为 R1×1R^{1\times1}R1×1 时，有如下推导
F(v,u)=∑y=0N−1e−j2πyNv[f(y,0)f(y,1)…f(y,M−1)]⋅[1e−j2π1Mue−j2π2Mu⋮e−j2πM−1Mu]F(v,u) =\sum_{y=0}^{N-1}e^{-j2\pi\frac{y}{N}v}\begin{bmatrix}f(y,0)&f(y,1)&\dots&f(y,M-1)\end{bmatrix} ·\begin{bmatrix}1\\e^{-j2\pi\frac{1}{M}u}\\e^{-j2\pi\frac{2}{M}u}\\\vdots\\e^{-j2\pi\frac{M-1}{M}u}\end{bmatrix}F(v,u)=y=0∑N−1e−j2πNyv[f(y,0)f(y,1)…f(y,M−1)]⋅⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡1e−j2πM1ue−j2πM2u⋮e−j2πMM−1u⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤
其中
[f(y,0)f(y,1)…f(y,M−1)]⋅[1e−j2π1Mue−j2π2Mu⋮e−j2πM−1Mu]=R1×M⋅RM×1=R1×1\begin{bmatrix}f(y,0)&f(y,1)&\dots&f(y,M-1)\end{bmatrix} ·\begin{bmatrix}1\\e^{-j2\pi\frac{1}{M}u}\\e^{-j2\pi\frac{2}{M}u}\\\vdots\\e^{-j2\pi\frac{M-1}{M}u}\end{bmatrix}=R^{1\times M}·R^{M\times 1}=R^{1\times1 }[f(y,0)f(y,1)…f(y,M−1)]⋅⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡1e−j2πM1ue−j2πM2u⋮e−j2πMM−1u⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤=R1×M⋅RM×1=R1×1
故我们可以知道
f(y,x)⋅[1e−j2π1Mue−j2π2Mu⋮e−j2πM−1Mu]=RNy×Mx⋅RMx×1=RNy×1f (y,x)·\begin{bmatrix}1\\e^{-j2\pi\frac{1}{M}u}\\e^{-j2\pi\frac{2}{M}u}\\\vdots\\e^{-j2\pi\frac{M-1}{M}u}\end{bmatrix}=R^{N_y\times M_x}·R^{M_x\times 1}=R^{N_y\times1 }f(y,x)⋅⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡1e−j2πM1ue−j2πM2u⋮e−j2πMM−1u⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤=RNy×Mx⋅RMx×1=RNy×1
所以，后续可推导为
∑y=0N−1e−j2πyNv=R1×Ny\sum_{y=0}^{N-1}e^{-j2\pi\frac{y}{N}v}=R^{1\times N_y} y=0∑N−1e−j2πNyv=R1×Ny
即可完成当 F(u,v)F(u,v)F(u,v) 为 R1×1R^{1\times1}R1×1 时的累加

2. F(v,u)F(v,u)F(v,u) 为 RNv×MuR^{N_v\times M_u}RNv×Mu 时

我们此时可以直接通过矩阵乘法的维度准则来推导，这里采取的是逆向思维
RNv×Mu=RNv×?1⋅RNy×Mx⋅R?2×MuR^{N_v\times M_u}=R^{N_v\times ?1}·R^{N_y\times M_x}·R^{?2\times M_u}RNv×Mu=RNv×?1⋅RNy×Mx⋅R?2×Mu
很明显 ?1=Ny?1=N_y?1=Ny ， ?2=Mx?2=M_x?2=Mx
分别将
RNv×Ny=[111…11e−j2π1N1e−j2π2N1…e−j2πN−1N11e−j2π1N2e−j2π2N2…e−j2πN−1N2⋮⋮⋮e−j2πyNv⋮1e−j2π1N(N−1)e−j2π2N(N−1)…e−j2πN−1N(N−1)]R^{N_v\times N_y}=\begin{bmatrix} 1&1&1&\dots&1\\ 1&e^{-j2\pi\frac{1}{N}1}&e^{-j2\pi\frac{2}{N}1}&\dots&e^{-j2\pi\frac{N-1}{N}1}\\ 1&e^{-j2\pi\frac{1}{N}2}&e^{-j2\pi\frac{2}{N}2}&\dots&e^{-j2\pi\frac{N-1}{N}2}\\ \vdots&\vdots&\vdots&e^{-j2\pi\frac{y}{N}v}&\vdots\\ 1&e^{-j2\pi\frac{1}{N}(N-1)}&e^{-j2\pi\frac{2}{N}(N-1)}&\dots&e^{-j2\pi\frac{N-1}{N}(N-1)} \end{bmatrix}RNv×Ny=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡111⋮11e−j2πN11e−j2πN12⋮e−j2πN1(N−1)1e−j2πN21e−j2πN22⋮e−j2πN2(N−1)………e−j2πNyv…1e−j2πNN−11e−j2πNN−12⋮e−j2πNN−1(N−1)⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤
RMx×Mu=[111…11e−j2π1M1e−j2π1M2…e−j2π1M(M−1)1e−j2π2M1e−j2π2M2…e−j2π2M(M−1)⋮⋮⋮e−j2πxMu⋮1e−j2πM−1M1e−j2πM−1M2…e−j2πM−1M(M−1)]R^{M_x\times M_u}=\begin{bmatrix} 1&1&1&\dots&1\\ 1&e^{-j2\pi\frac{1}{M}1}&e^{-j2\pi\frac{1}{M}2}&\dots&e^{-j2\pi\frac{1}{M}(M-1)}\\ 1&e^{-j2\pi\frac{2}{M}1}&e^{-j2\pi\frac{2}{M}2}&\dots&e^{-j2\pi\frac{2}{M}(M-1)}\\ \vdots&\vdots&\vdots&e^{-j2\pi\frac{x}{M}u}&\vdots\\ 1&e^{-j2\pi\frac{M-1}{M}1}&e^{-j2\pi\frac{M-1}{M}2}&\dots&e^{-j2\pi\frac{M-1}{M}(M-1)} \end{bmatrix}RMx×Mu=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡111⋮11e−j2πM11e−j2πM21⋮e−j2πMM−111e−j2πM12e−j2πM22⋮e−j2πMM−12………e−j2πMxu…1e−j2πM1(M−1)e−j2πM2(M−1)⋮e−j2πMM−1(M−1)⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤
然后通过 Matlab 特有的矩阵乘法进行编程即可。