读程士宏之《测度论与概率论基础》
程士宏. 测度论与概率论基础. ISBN: 978-7-301-06345-3
对于很多学过概率与统计的人来说，概率和统计似乎都是一回事。但实际上，概率论和统计学是两门学科。其中的概率论属于数学，是一种严格的数学模型，而且虽然概率可以用于用于测度随机性，但概率本身一点也不随机。这本《测度论与概率论基础》就是一本介绍严格的概率论的入门教材。
所谓“测度”是一类特殊的实值函数，数学上用它们表示数学对象的某些性质。我们司空见惯的长度、面积、体积等性质本质上就都是测度。通过测度论，一些直觉上的悖论也得以消解。例如任意一个点的长度都是 0，为什么 0 到 1 的区间的长度却不是 0？这在测度论上根本不构成问题，按照测度的定义可以计算得到单点集合的测度为 0，而 $[0,1]$ 区间上实数构成的集合的测度为 1。
测度论在分析学中有重要意义，通过测度论可以定义 Lebesgue 积分。在 Lebesgue 积分中，许多 Riemann 不可积的函数也是可积的。不过这本书中没有详述分析学中的测度论。本书对测度论和分析学的介绍都是为了概率论做铺垫。
概率在初等概率论中被当作一个玄之又玄的对象，一直没有下定义。但在测度概率论中，概率不过就是一种满足特殊条件的测度。我们可以用概率去衡量随机事件实际上就是在衡量随机事件的可能空间的测度。在给出测度的定义之后，本书又进一步严格定义了数学期望等概率论基本概念，并对中心极限定理等基本的概率论定理做了证明。
这次读这本书的一大收获是本书第五章对无穷维乘积空间的测度做了介绍。我之前在学随机过程的时候一直觉得所谓对于每一组参数都对应一个随机变量的随机过程可以换一个角度理解。也就是以随机过程的每一个样本曲线为一个带参数的事件，这样整个随机过程就成了一个“随机变量”，只不过这个随机变量的每个取值都是一个函数，一个带参数的样本曲线。而随机过程的一些概率就可以直接在这个“巨大”的样本空间中去考虑。
但这么想的一个明显问题就是所有样本曲线构成的空间是和实数所有子集构成的无穷集等势的。我不太清楚这么大的空间上是否能定义概率测度。这次这本书的第五章大致对此给了一个肯定的答复——至少可以把所有样本曲线构成的空间看作任意无穷维乘积空间定义概率测度。虽然之前在网上已经有人提到这个结论，但这本书给了我一个更扎实的版本。
参考资料
- Is there a probability measure on $2^{\mathfrak{c}}$? - Mathematics Stack Exchange
求点赞，求收藏，求分享
欢迎关注我的公众号，微信搜索：知则
读程士宏之《测度论与概率论基础》相关推荐
- 测度论与概率论基础学习笔记4——2.2外测度
测度论果然十分高深啊-越学越觉得自己水平有限,只能做一些肤浅的理解. 由于比较stupid,本节的证明我都没有学(doge,希望几年之后武功长进之时能回来看看. 引言 外测度的基本想法是用一些形状良好 ...
- 测度论与概率论基础学习笔记3——2.1测度的定义与性质
定义1 设E\mathscr EE是XXX上的集合系且∅∈E\emptyset \in \mathscr E∅∈E,若E\mathscr EE上的非负集函数(取值大于等于0的函数)μ\muμ具有可列可 ...
- 测度论与概率论基础学习笔记5——2.3测度的扩张和测度空间的完备化
note:这部分内容比较偏证明,对我来说有些难度,也好久没更新.今日暂且一记,以后有更深刻的理解之后再来补充.2021.3.16 一.测度的扩张 定义:扩张 设μ\muμ和τ\tauτ分别是集合系A\ ...
- 测度论与概率论基础学习笔记9——3.3Lp空间
Lp空间在泛函分析中比较详细地讲述过(但我没有详细地学过),这里更多作一点重复. 1.Lp空间定义 设(X,F,μ)(X,\mathscr F,\mu)(X,F,μ)是一测度空间,定义其上绝对值p次幂 ...
- 测度论与概率论有什么关系？为什么要学习测度论？
首先,和微积分类比一下:有测度论和没测度论的概率论,对应到数学分析中,就是有实数完备性理论和没有实数完备性理论的微积分. 看起来是不是有点绕. 事实上,就和实数完备性对于微积分的重要性一样.有了测度论 ...
- 纪念我逝去的概率论基础
Photo: from book The Unravelers 在数学系的研究生阶段有一门课,名字非常谦逊,叫做<概率论基础>.没错,不是神马高等概率论,也不是神马现代概率论,而是基础,仅 ...
- 概率论基础知识（二） 随机变量及其分布
概率论基础知识(二) 随机变量及其分布 1.随机变量 定义:设随机试验的样本空间为S={e}, X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数.称X=X(e)为随机变量. 这样一来,样本空间可以很好的 ...
- 【机器学习算法专题（蓄力计划）】三、机器学习中的概率论基础精讲
这是统计学的基本概念,随便找本概率论基础都可以找到这些概念,看不懂的就看多几遍,重点在记住和知道应用场合,知识点之间的衔接很重要,理解为王. 文章目录 1. 随机变量分类 2. 常见的离散分布 2.1 ...
- 【数理统计】概率论基础回顾
零.概率论基础回顾 1. 求离散型的期望
- AI算法连载02：概率论基础
相关文章: AI算法连载01:数学基础之线性代数 导语:不懂算法的工程师做不了AI,不懂算法的产品经理将把AI带入泥潭.概率是AI最重要的预测理论! 在人工智能AI如火如荼的大潮下,越来越多的工程师们 ...
最新文章
- 非常有必要了解的Springboot启动扩展点
- IDEA REST Client IDEA自带的接口调试工具
- cctype，string，vector
- SD卡读写扇区注意事项（转）
- canvas笔记-arcTo的使用及绘制弯月
- 如何计算边缘计算的成本
- 人生路上对我影响最大的三位老师浅谈师生关系
- Nginx部署ssl安全证书(腾讯云DV证书)
- Google SketchUp SDK
- 电商后台设计详细讲解
- IBM JDK(J9)垃圾回收(GC)策略
- c语言看图猜价格小游戏程序,开心利是小程序看图猜谜答案公布
- java接口防刷_API 接口防刷
- 一文看懂传统服务器、云服务器和虚拟主机之间的区别
- DSP280049代码迁移DSP280039注意事项
- 为摩尔定律续命30年，EUV究竟意味着什么？
- 2020-05-13 工作中英语单词积累
- 名侦探柯南剧场版3--世纪末的魔术师
- 2023最新SSM计算机毕业设计选题大全（附源码+LW）之java基于2023最新SSM计算机毕业设计选题大全（附源码+LW）之JAVA的社区疫情防控管理信息系统的设计与实现khjit
- php+redis 盲盒字符兑换道具