测度论与概率论基础学习笔记5——2.3测度的扩张和测度空间的完备化

note:这部分内容比较偏证明，对我来说有些难度，也好久没更新。今日暂且一记，以后有更深刻的理解之后再来补充。2021.3.16

一、测度的扩张
定义：扩张
设μ\muμ和τ\tauτ分别是集合系A\mathscr AA和B\mathscr BB上的测度，且A⊂B\mathscr A \subset \mathscr BA⊂B，若对每个A∈AA\in\mathscr AA∈A都有：
μ(A)=τ(A)\mu(A)=\tau(A)μ(A)=τ(A)
则称τ\tauτ为μ\muμ在B\mathscr BB上的扩张。当然，我们也希望这个扩张是唯一的。

通过反例可以说明：按照前几节的方式：如果通过生成外测度，且将外测度限制在σ\sigmaσ域上，是无法将原测度扩张的。必须另寻他法。

在讨论扩张的做法之前，需要以下命题作为工具：
命题1.1
设F\mathscr FF是一个π\piπ系，如果σ(F)\sigma(\mathscr F)σ(F)（F\mathscr FF生成的σ\sigmaσ域）上的测度μ,v\mu,vμ,v满足：

对任意A∈FA\in\mathscr FA∈F有μ(A)=v(A)\mu(A)=v(A)μ(A)=v(A)
若{An}\{A_n\}{An}是全集X的一个划分，且μ\muμ在这个划分集合中是有界的

那么对任何A∈σ(F)A\in\sigma(\mathscr F)A∈σ(F)：有μ(A)=v(A)\mu(A)=v(A)μ(A)=v(A)。
该命题的意思是，满足第一个条件，且测度在划分集合中是有界的，那么在生成的σ\sigmaσ域里两个测度仍是相等的。

定理1.2测度扩张定理
对半环Q\mathscr QQ上的测度μ\muμ,存在σ(Q)\sigma(\mathscr Q)σ(Q)上的测度τ\tauτ使得
τ(A)=μ(A),∀A∈Q\tau(A)=\mu(A),\forall A\in \mathscr Qτ(A)=μ(A),∀A∈Q
若还满足命题1.1的第二条，则测度τ\tauτ是唯一的。

推论1.3
设Q\mathscr QQ是一半环且X∈QX \in \mathscr QX∈Q,对Q\mathscr QQ上的有限测度μ\muμ，存在σ(Q)\sigma(\mathscr Q)σ(Q)上的唯一测度τ\tauτ使τ(A)=μ(A),∀A∈Q\tau(A)=\mu(A),\forall A\in \mathscr Qτ(A)=μ(A),∀A∈Q成立。

证明略，但证明的过程，就是通过μ\muμ产生的外测度τ\tauτ扩张到了比σ(Q)\sigma(\mathscr Q)σ(Q)范围更大的一个σ\sigmaσ域Fτ\mathscr F_{\tau}Fτ上。可以证明，作为σ(Q)\sigma(\mathscr Q)σ(Q)上的测度τ\tauτ和作为Fτ\mathscr F_{\tau}Fτ上的测度τ\tauτ的差别很小。

此外，关于Lebesgue-Stieljes可测集、Lebesgue可测集的重要概念，我用图片暂记。可以参见参考1；参考2

二、测度空间的完备化
任何零测集的子集还属于这个测度空间，这是测度空间完备化的定义。类似于泛函分析中的距离空间和赋范空间，任何测度空间也能够完备化。方式如下：
对任意测度空间(X,F,μ)(X,\mathscr F,\mu)(X,F,μ)，若令
F′={A∪N:A∈F,∃N⊂B∈F使得μ(B)=0}\mathscr F' = \{A\cup N:A\in \mathscr F,\exists N\subset B\in \mathscr F使得\mu(B)=0\}F′={A∪N:A∈F,∃N⊂B∈F使得μ(B)=0}
并令：
μ′(A∪N)=μ(A)\mu'(A\cup N)=\mu(A)μ′(A∪N)=μ(A)
则(X,F′,μ′)(X,\mathscr F' ,\mu')(X,F′,μ′)就是一个完备的测度空间。

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