测度论与概率论基础学习笔记3——2.1测度的定义与性质

定义1

设E\mathscr EE是XXX上的集合系且∅∈E\emptyset \in \mathscr E∅∈E，若E\mathscr EE上的非负集函数(取值大于等于0的函数)μ\muμ具有可列可加性，并满足μ(∅)=0\mu(\emptyset)=0μ(∅)=0,则称之为E\mathscr EE上的测度。
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有限性、可减性：

若对集合系中的每个集合，其函数值都有限，则称测度μ\muμ有限。若对每个A∈EA\in \mathscr EA∈E都有满足μ(An)<∞\mu(A_n)<\inftyμ(An)<∞集合列{An∈E}\{A_n \in \mathscr E\}{An∈E}满足可列并包含集合A(∪n=1∞An⊃A\cup_{n=1}^\infty A_n\supset A∪n=1∞An⊃A)，则称则称测度μσ\mu \space \space \sigmaμ σ有限。

如果对任何A,B∈E,A⊂B,B\A∈EA,B\in \mathscr E,A\subset B ,B\backslash A \in \mathscr EA,B∈E,A⊂B,B\A∈E，只要μ(A)<∞\mu (A)<\inftyμ(A)<∞，有
μ(B\A)=μ(B)−μ(A)\mu(B \backslash A)=\mu(B)-\mu(A)μ(B\A)=μ(B)−μ(A)
则称μ\muμ具有可减性。

命题1
测度具有有限可加性与可减性。
(想象面积的运算，或者概率的运算)

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定义2 点测度
定义δx(A)=IA(x)\delta_x(A)=I_A(x)δx(A)=IA(x).
其中I是指示函数。若x1,…,xn∈Xx_1,\dots ,x_n\in Xx1,…,xn∈X，定义
μ(A)=∑i=1nδxi(A)\mu(A)=\sum_{i=1}^{n}\delta_{x_i}(A)μ(A)=i=1∑nδxi(A)此即点测度。
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命题2
设X=RX=\mathbf RX=R, E\mathscr EE是由左开右闭区间组成的半环，FFF是非降、右连续、实值函数，定义
μ((a,b])=[F(b)−F(a)]u(b−a)\mu((a,b])=[F(b)-F(a)]u(b-a)μ((a,b])=[F(b)−F(a)]u(b−a)
(不会打分段函数…u(x)u(x)u(x)就是x≥0x\ge0x≥0时为1)
则μ\muμ就是一个E\mathscr EE上的测度。
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一堆概念
空间XXX，加上由它的子集形成的一个σ\sigmaσ域F\mathscr FF，再加上上的一个测度μμμ，形成的三元组(X,F,μ)(X,\mathscr F,\mu)(X,F,μ)称为测度空间.如果N∈FN\in\mathscr FN∈F而且μ(N)=0\mu(N)=0μ(N)=0,则称NNN为μ\muμ的零测集.
如果测度空间(X,F,μ)(X,\mathscr F,\mu)(X,F,μ)满足P(X)=1P(X)=1P(X)=1，则称它为概率空间，对应的PPP叫做概率测度.在概率空间(X,F,μ)(X,\mathscr F,\mu)(X,F,μ)中，F\mathscr FF中的集合AAA又称为事件，而P(A)P(A)P(A)称为事件AAA发生的概率.

(这里想到上学期随机信号开头讲的概率空间的概念，当时讲的F是事件空间，其实就是一个X上的σ\sigmaσ域。在这里取其所有子集的集合，是具有实际意义的。)
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半环上测度的性质
在一般的σ\sigmaσ域上建立测度则要复杂得多，通常使用的办法是把半环上的测度扩张到由它生成的σ\sigmaσ域上去。为给半环上测度的扩张作必要的准备，需要先讨论半环上非负集函数的性质。

单调性：
对∀A⊂B:μ(A)<μ(B)\forall A\subset B:\mu(A)<\mu(B)∀A⊂B:μ(A)<μ(B)
半可列可加性：
之前说的可列可加性是对于两两不交的集合而言，而对于任意可列个集合，只要∪nAn∈E\cup_{n}A_n \in \mathscr E∪nAn∈E,就一定有：μ(∪nAn)≤∑nμ(An)\mu(\cup_{n}A_n)\le\sum_{n}\mu(A_n)μ(∪nAn)≤∑nμ(An)
（该性质也可直观地通过几何来理解，例如两个相交的图形，其构成的总面积肯定小于等于各自面积之和）
下连续与上连续
若集合列An↑A_n \uparrowAn↑且收敛到AAA,均有：
μ(A)=lim⁡n→∞μ(An)\mu(A)=\lim_{n\to\infty}\mu(A_n)μ(A)=limn→∞μ(An)
则称具有下连续性。
同理，若集合列An↓A_n \downarrowAn↓且收敛到AAA,均有上式成立，则上连续。

定理3
半环上的测度具有单调性，可减性，半可列可加性，下连续性和上连续性.
定理4
对环上的有限可加非负集函数μ\muμ,有
μ可列可加⇔μ半可列可加⇔μ下连续⇒μ上连续\mu可列可加\\ \Leftrightarrow \mu半可列可加\\ \Leftrightarrow \mu下连续\\ \Rightarrow \mu上连续 μ可列可加⇔μ半可列可加⇔μ下连续⇒μ上连续

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