测度论与概率论基础学习笔记4—

测度论果然十分高深啊…越学越觉得自己水平有限，只能做一些肤浅的理解。
由于比较stupid，本节的证明我都没有学(doge，希望几年之后武功长进之时能回来看看。

引言
外测度的基本想法是用一些形状良好的，已经定义了类似测度概念（称为类测度）的集合去尽可能“小”的覆盖其他集合，然后用这些集合的”类测度“的和作为被覆盖集合的外测度。（参考知乎-外测度）
比如我们在小学都做过这种“数格子”的题：

要测量一个不规则图形的面积，可以用小方格的面积之和来测量。外测度与此有异曲同工之妙。

定义：外测度
这个定义是外测度的抽象定义，其并不严格。
由XXX的所有子集组成的集合系F\mathscr FF到[0,+∞)[0,+\infty)[0,+∞)的函数τ\tauτ称为XXX上的外测度，若其满足：

τ(ϕ)=0\tau(\phi)=0τ(ϕ)=0
单调性：任何A⊂B⊂XA\subset B\subset XA⊂B⊂X有τ(A)≤τ(B)\tau(A)\le \tau(B)τ(A)≤τ(B)
半可列可加性：对F\mathscr FF中的任意集合列{An}\{A_n\}{An}满足τ(∪n=1∞An)≤∑n=1∞τ(An)\tau(\cup_{n=1}^{\infty}A_n)\le \sum_{n=1}^\infty \tau(A_n)τ(∪n=1∞An)≤∑n=1∞τ(An)

按照引论中的说法，我们可以构造如下一个外测度，使之满足上面的几个性质：
设E\mathscr EE是一个集合系且包含空集，若其上的非负集函数μ\muμ满足μ(ϕ)=0\mu(\phi)=0μ(ϕ)=0，对每个A∈FA\in\mathscr FA∈F令
τ(A)=inf⁡{∑n=1∞μ(Bn):Bn∈E,A⊂∪n=1∞Bn}\tau(A)=\inf\{ \sum_{n=1}^\infty \mu(B_n):B_n\in \mathscr E,A\subset \cup_{n=1}^\infty B_n\}τ(A)=inf{n=1∑∞μ(Bn):Bn∈E,A⊂∪n=1∞Bn}
则τ\tauτ是一个外测度，称为由μ\muμ生成的外测度.
\space
我们希望一个集合的测度应该等于把该集合分成任意多（至少是可数）个不相交集合的测度的和，因此照如下定义可测集：
设τ\tauτ是XXX上的一个外测度，把满足：
τ(D)=τ(D∩A)+τ(D∩Ac),∀D∈F\tau(D)=\tau(D\cap A)+\tau(D \cap A^c),\forall D\in \mathscr Fτ(D)=τ(D∩A)+τ(D∩Ac),∀D∈F
的子集A称为τ\tauτ可测集，把由全体τ\tauτ可测集组成的集合系记为Fτ\mathscr F _\tauFτ。

定理：Caratheodory定理
若τ\tauτ是外测度，则Fτ\mathscr F _\tauFτ是σ\sigmaσ域，三元组(X,Fτ,τ)(X,\mathscr F _\tau,\tau)(X,Fτ,τ)是完全测度空间（任意零测集的子集仍属于集合系的测度空间）。

因此，我们将半环上的测度测度扩张为sigma域的测度，就是利用了上面的知识，等学完测度扩张之后，再来补充。

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