『ACM-算法-二分法』信息竞赛进阶指南--二分法

写在前面：我们主要还是分享算法的模板，而不是去刨析算法的原理！

定义：二分答案是指在答案具有单调性的前提下，利用二分的思想枚举答案，将求解问题转化为验证结果。

流程：
首先需要估计答案的上下界，然后不断取区间中点进行验证（这就要求答案的验证应当简单可行），并通过验证结果不断更新答案区间，最终得到答案。不难看出，朴素的枚举验证时间复杂度是O(n)的，而二分可以做到O(logn)
特征：
1.答案具有单调性
2.二分答案的问题往往有固定的问法，比如：令最大值最小（最小值最大），求满足条件的最大（小）值等。


// 在单调递增序列a中查找>=x的数中最小的一个（即x或x的后继）
while (l < r) {int mid = (l + r) / 2;if (a[mid] >= x) r = mid; else l = mid + 1;
}// 在单调递增序列a中查找<=x的数中最大的一个（即x或x的前驱）
while (l < r) {int mid = (l + r + 1) / 2;if (a[mid] <= x) l = mid; else r = mid - 1;
}// 实数域二分，设置eps法
while (l + eps < r) {double mid = (l + r) / 2;if (calc(mid)) r = mid; else l = mid;
}// 实数域二分，规定循环次数法
for (int i = 0; i < 100; i++) {double mid = (l + r) / 2;if (calc(mid)) r = mid; else l = mid;
}// 把n本书分成m组，每组厚度之和<=size，是否可行
bool valid(int size) {int group = 1, rest = size;for (int i = 1; i <= n; i++) {if (rest >= a[i]) rest -= a[i];else group++, rest = size - a[i];}return group <= m;
}// 二分答案，判定“每组厚度之和不超过二分的值”时能否在m组内把书分完
int l = 0, r = sum_of_Ai;
while (l < r) {int mid = (l + r) / 2;if (valid(mid)) r = mid; else l = mid + 1;
}
cout << l << endl;

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