Siggraph三角网格变形之三维网格拉普拉斯

Mesh Editing中重要的特征是要保持局部的细节，尤其Local Laplace Coordinates的不变性，最简单的Laplace 网格处理的原理如下：网格的laplace坐标是定义为特定顶点的坐标减去其first-ring临近顶点坐标的加权和，这种坐标的好处是定义了一种逐顶点的局部形貌度量，类似于图像里面的各种梯度(比如Laplace、Sobel梯度等等)。

一个普通单联通的三维网格里面，如果有超过一个顶点被固定，其他点就可以在维持自身的Laplace坐标的基础上求解出来新的位置，比如这些固定的顶点称为Handle（固定锚点集合），

求解方法就是对上述式子进行一次求解，其中固定锚定点集合的范围是m-n，共有n个顶点，这就是一种最为基础的拉普拉斯网格编辑的方法。
但是，实际上上面讨论的拉普拉斯坐标都是全局坐标系下的，所以不具备旋转不变性，就是当点云整体存在旋转时候，拉普拉斯坐标值会发生改变，此时强制让网格顶点的坐标维持不变是不合理的，在存在较大旋转情况下，这种方法处理完成后网格存在扭曲切变的情况。

所以上式子增加了旋转项，通过旋转初始拉普拉斯坐标来拟合最终的Laplace坐标。其中旋转项是通过下面式子求解出来的：

求解上面的式子是采用一个点和他的临近点组成的点集来做一次SVD，求解出来一个最佳的带scale系数的RT。这种方法主要用来做匹配点云的旋转平移求解。

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