三角网格模型及基于RBF隐曲面方程求解的曲面重建

资料来源：径向基函数和神经网络技术在逆向工程中的应用研究（博士论文：王宏涛）

RBF神经网络模型

RBF神经网络起源于数值分析中多变量插值的RBF方法，1988年Broomhead等人首先将该算法应用于神经网络的设计，从而构成了RBF神经网络。

RBF神经网络是一种由输入层、隐层和输出层组成的三层前馈型网络，其结构简图如图2.3所示[120]。输入层节点只传递输入信号到隐层，从输入层到隐层的变换是非线性的，隐层节点由一定的作用函数构成，从隐层到输出层的变换是线性的。输入层到隐层之间的权固定为1，只有隐层到输出层之间的权可调。

隐层的变换函数是一种局部分布的、对中心点径向对称衰减的非负线性函数，其常用的函数形式是高斯函数

式中，phi_j为隐层第j个单元输出；X=[x1,x2,...,x_n]^T，为输入矢量；||·||表示范数，C_j为隐层第j个高斯单元的中心；σ为半径。

网络的输出可表示为：

常用的RBF为

1.薄板样条函数(thin-plate splines)：φ(r )=r2klogr，k为自然数；

2.多重二次函数(multiquadrics)：φ(r)=(r2+c 2)β,β>0,β不为自然数，c为常数；

3.逆多重二次函数(inverse multiquadrics)：φ(r)=(r2+c2)β,β<0，c为常数；

4.高斯函数(Gaussian)：φ(r)=exp (?cr2),c>0，c为常数。

通常薄板样条函数用来拟合具有两个变量的光滑函数；多重二次函数适用于许多场合，特别适用于拟合地形数据；高斯函数一般用于神经网络。拟合具有三个变量的函数，效果较好的RBF是双调和样条函数(biharmonic)φ(r)=r和三调和样条函数(triharmonic)φ(r)=r³。[40]

2 基于RBF的隐式曲面

曲面插值问题可表述为：给定R3中曲面S上的n个散乱数据点{(x,y,z)|i=1..n},找到一个插值S的曲面S′。如果运用一个隐式函数f定义曲

面S′，则在曲面S上的n个散乱点满足方程

f(x,y,z)=0, for all p,

约束

f(x,y,z)=hi <> 0

综上所述，曲面插值问题就变成了散乱数据点插值问题：给定R3空间的n个散乱点Ps及其对应的约束值{hi},如果可以构造一个函数f(r)，对每一个散乱点都满足f(ci)=hi，则由这些散乱点可以定义一个隐式曲面方程f(r)=0。定义二阶可微函数f的薄板能量函数为[86]

该能量函数反映了函数f在R3上的光滑程度，因此曲面的光滑性可用能量值来衡量，如果曲面上不存在褶皱等曲率变化急剧的区域，则能量值较低。在f(c)=h的插值约束条件下求解插值函数f，使薄板能量函数的值最小，此时求得的插值函数f的形式为RBF形式[87、93]

式中，r表示生成的曲面上的任意点，r=(x,y,z)；c表示定义该方程的散乱点，c=(x,y,z);w表示对应于每一个散乱点的实数权值；P(r)是一个一阶多项式，对任意一点r，P(r)的形式为

P(r)=p0+p1*x+p2*y+p3*z,

φ(r-c)是RBF，本文采用的RBF形式为三调和样条函数φ(r)=r³。

三个网格法矢量：

图1示意出了三角网格模型的各单纯形的邻域，对图中用方形所示的任意顶点v，其一重邻点为图中所示的黑圆点，其二重邻点（即顶点v的一

重邻点的一重邻点）为图中所示的黑三角点，其邻边为图中所示的粗黑线，其邻三角片为图中所示的阴影中的各三角片。

如图2所示，对三角网格曲面M中的一个顶点vi，设其有m个一重邻点vj(j=1,2,…m)∈nbhd{i}，则其有m个邻三角片f

j(j=1,2,…m)。设nj是fj的单位法矢，di,j是eij的长度，采用柯映林[108]从力学角度给出的单位法矢加权叠加的方法，可计算顶点v_i的法矢N_i：

在不少文献[123~125]中，用相邻三角片法矢与三角片面积的加权来获得顶点的法矢，设N_fi是三角片f_j的法矢，A_j是三角片f_j的面积，顶点v_i的法矢N_i为：

[108] 柯映林.散乱数据几何造型技术及其应用研究[博士学位论文].南京,南京航空航天大学,1992.

[123] Taubin G.Estimating the tensor of curvature of a surface from a polyhedral approximation.In:Proc.5th Intl.Conf.on Computer Vision(ICCV’95),1995:902~907.

[124] Biermann H,Levin A,Zorin D.Piecewise smooth subdivision surfaces with normal control.In:K.Akeley ed.,Proceedings of SIGGRAPH’2000.Boston,MA:Addision Wesley Professional,2000:113~120.

[125] Page D L,Koschan A,Sun Y,et al.Robust crease detection and curvature estimation of piecewise smooth surfaces from triangle mesh approximations using normal voting.In:C.E. Brodley,A.P.Danyluk ed.,Proceedings of the International Conference on Computer Vision and Pattern Recognition 2001.San Francisco,CA:Morgan Kaufmann,2001:162~167.

[126]周儒荣,张丽艳,苏旭,等.海量散乱点的曲面重建算法研究.软件学报,2001, 12(2):249~255.

[129]刘利刚,王国瑾.基于球面三角网格逼近的等距曲面逼近算法.工程图学学报, 2000(3):70~74.

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