最速降线问题-泛函极值

最优降线问题

最速降线问题（又称为捷线问题）是经典变分问题之一，其解是一条旋轮线，其解析解是用微分方程模型得到的，因此，研究该问题的新解法可以为微分方程的求解寻找到新的方法。意大利科学家伽利略在1630年提出一个分析学的基本问题──“一个质点在重力作用下，从一个给定点到不在它垂直下方的另一点，如果不计摩擦力，问沿着什么曲线滑下所需时间最短”。
参考：最优降线的动图

参考：最速降线问题
伽利略在提出这个问题同时也给出了他自己的答案。然而，他做错了，他认为是圆。
1696年，约翰﹒伯努利向再次向整个数学界发起了整个问题的挑战，并且声称自己已经解出答案，如果年底没有人解出来，他就会公布答案。（嗯，其实他就是想证明他是最聪明的。）
1697年1月1日，约翰·伯努利正要公布答案时收到了来自老师莱布尼兹的答案，并在莱布尼兹的要求下延长时间。
当时整个欧洲数学界都被此问题吸引，纷纷投入研究。
不知道是不是因为莱布尼兹和牛顿的不融洽关系，约翰·伯努利还暗戳戳的嘲讽牛顿，并打算向他挑战这一问题。
后来，54岁的牛顿收到了来自约翰·伯努利的信，这时候牛顿已经在研究神学领域了，而且每天忙英国造币局的事务到很晚。
疲惫不堪的牛顿看到这封信时很愤怒，很不爽，然后熬夜到凌晨四点，将这个问题给解决了，次日便将答案寄给了当时的科学期刊«Philosophical Transactions》。
牛顿后来跟他朋友说，“在数学问题上，我不喜欢被外国人戏弄。”
最后，约翰·伯努利收到了四份答案，分别来自莱布尼茨（约翰·伯努利的老师）、洛必达（约翰·伯努利的学生）、雅各布·伯努利（约翰·伯努利的兄弟）及匿名的答案。
没错，匿名的正是牛顿，不过约翰·伯努利看到这封信时就说：“我看到这利爪就认出来了是头狮子。”
在这些答案中，牛顿、莱布尼兹、洛必达都是凭借深厚的微积分功底解决这个问题。
约翰·伯努利的解法比较巧妙，他将 A到B的空间划分出无数层状介质，并将小球的运动和光所遵循的斯涅尔定律（折射定律）联系在一起，并得到最速降线是摆线这一答案。
但是，这个问题并没有到此结束。
1734年，约翰·伯努利的学生欧拉用全新的解法解决了这个问题，并推广出了一门学科，名变分法。
接下来，我们就看一下欧拉做了什么事情。

泛函极值问题

函数y(x)称为泛函J的宗量

欧拉方程推导出泛函的最优解就是摆线，而刚好与保守体系的拉格朗日方程一致。

摆线，又称旋轮线、圆滚线，在数学中，摆线（Cycloid）被定义为，一个圆沿一条直线运动时，圆边界上一定点所形成的轨迹。
所以，我们知道的拉格朗日函数L=U-T只是在保守系成立。而对于非保守体系，事实上也能写出拉格朗日函数。

保守体系&非保守体系（有势力/非有势力）

将有势力记入拉格朗日函数，其他的非有势力单独计算其广义力

以最小作用量原理为基础的拉格朗日力学，L=k-u，那么如何处理非保守力（如摩擦力）呢？
非保守力：凡作功与路径有关的力称为非保守力。
常见的摩擦力,物体间相互作非弹性碰撞时的冲击力都属于非保守力。非保守力具有沿任意闭合路径作功不等于零的特点。非保守力包括耗散力和非耗散力两类。
保守力
定义：力所作的功与路径无关，仅由质点的始末位置决定。
即：保守力沿闭和路径所做的功为零。
由于保守力所做的功与运动物体所经过的路径无关，因此，如果物体沿闭合路径绕行一周，则保守力对物体所做的功恒为0 .因为保守力的功具有这样的特点，所以在只有保守力作用在物体上的情况下可以定义势能（位能）.势能大小仅由保守力的大小和具有保守力作用的二物体问的相互位置决定。换句话说，势能仅与保守力场的位置有关。
非保守力
定义：力所做的功不仅决定于受力质点的始末位置，而且和质点经过的路径有关；或：力沿闭和路径所做的功不等于零。
保守力做功，与路径无关，非保守力与路径有关。
常见的摩擦力，物体间相互作非弹性碰撞时的冲击力都属于非保守力。非保守力具有沿任意闭合路径作功不等于零的特点。非保守力包括耗散力和非耗散力两类。
在力学范围内接触的非保守力大多数是耗散力，所以长期以来耗散力就成了非保守力的同义词。严格说来两者是有区别的，一个系统的总机械能减少，并转变为系统的热能或内能。通常人们把这个过程叫耗散过程，而把导致耗散的力成为耗散力。
非耗散力指能对系统或物体做正功，而且做功与路径有关的力。如磁力。

哈密顿原理

参考：哈密顿原理

如同一般变分原理一样,从哈密顿原理可以等价地推出相应的质点组的运动方程,通常是微分方程.如果力学系统处于静力平衡稳定状态,则因动能为零,位能与时间无关,哈密顿原理转化为最小位能原理(势能一定在最低的地方):

在力是保守力的情况下,对任何有限粒子组,对于更一般的动力系统以及连续介质,这一原理的推广同样适用.哈密顿原理还可推广到电磁学、量子学说以及相对论中的基本定律.量子学说的创立者普朗克(Planck,M.)这样评价哈密顿原理,“物理学中最崇高且最为人们殷切追求的目标,是把业已观察到并行将观察到的一切自然现象缩并成单独一个原理……在那些标志着过去几百年物理科学成就的,多少带有一般性的定律中,最小作用原理,就其内容和形式而论,可能最接近于理论研究上这一理想的最终目标.