最长上升子序列(LIS)的求法

最长上升子序列（LIS）
给定一个长度为N的序列A
满足：
1. 1<=x1< x2< x3<…xk<=N
2. A[x1] < A[x2] < A[x3] < … < A[xk]
即寻找一个最长子序列，满足该子序列中每个元素严格递增（其实不严格递增也可以做）
做最长上升子序列有两种方法：

1.动态规划（O（n2））

dp[i]表示取到第i个数的最长上升子序列
若有j满足a[j] < a[i]
dp[i]=max(dp[j])+1
否则dp[i]=1
直接贴代码

#include<cstdio>
long long n,a[10001],dp[10001],ans=0;
int main()
{scanf("%lld",&n);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]);for(int i=1;i<=n;i++){dp[i]=1;for(int j=1;j<i;j++)if(a[j]<a[i]&&dp[i]<=dp[j])dp[i]=dp[j]+1;}for(int i=1;i<=n;i++)if(ans<dp[i])ans=dp[i];printf("%lld",ans);return 0;
}

2.贪心？（O（nlogn））

用一个栈维护最长上升子序列的第i个元素的最小值，显然这个最小值是单调不减的，进来一个数，如果比栈顶打就压入栈，否则二分更新栈内元素
易懂代码

#include<cstdio>
long long N,a[100001],len,num;
long long search(long long x)
{long long l=1,r=len,ans=0;while(l<=r){long long mid=(l+r)/2;if(a[mid]>=x)ans=mid,r=mid-1;else l=mid+1;}return ans;
}
int main()
{scanf("%lld",&N);for(long long i=1;i<=N;i++){scanf("%lld",&num);if(len==0||num>a[len])a[++len]=num;else a[search(num)]=num;}printf("%lld",len);return 0;
}

经过优化的代码，适合做板子（注意理解）

#include<cstdio>
typedef long long LL;
template <typename T> inline T max(const T a,const T b){return a>b?a:b;}
template <typename T> inline T min(const T a,const T b){return a<b?a:b;}
template <typename T> inline T abs(const T a){return a>0?a:-a;}
template <typename T> inline void swap(T&a,T&b){T c=a;a=b;b=c;}
template <typename T> inline LL log2(T x){register LL res=0;while(x>=2)x=x>>1,res++;return res;}
template <typename T> inline T gcd(const T a,const T b){if(a%b==0)return b;return gcd(b,a%b);}
template <typename T> inline void read(T&x)
{char cu=getchar();x=0;bool fla=0;while(cu<'0'||cu>'9'){if(cu=='-')fla=1;cu=getchar();}while('0'<=cu&&cu<='9')x=x*10+cu-'0',cu=getchar();if(fla)x=-x;
}
template <typename T> void printe(const T x)
{if(x>=10)printe(x/10);putchar(x%10+'0');
}
template <typename T> inline void print(const T x)
{if(x<0)putchar('-'),printe(-x);else printe(x);
}
LL N,a[100001],len,num;
inline LL search(const LL x)
{register LL l=1,r=len,ans=0;while(l<=r){register LL mid=(l+r)>>1;if(a[mid]>=x)ans=mid,r=mid-1;else l=mid+1;}return ans;
}
int main()
{read(N);for(register LL i=1;i<=N;i++){read(num);if(!len||num>a[len])a[++len]=num;else a[search(num)]=num;}print(len);return 0;
}

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