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第二章泛函极值及变分法(补充内容)

2.1 变分的基本概念

2.1.1 泛函和变分

泛函是一种广义的函数，是指对于某一类函数{y(x)}中的每一个函数y(x)，变量J有一值与之对应，或者说数J对应于函数y(x)的关系成立，则我们称变量J是函数y(x)的泛函，记为J[y(x)]。

例1：如果表示两固定端点A(xA，yA)，B(xB，yB)间的曲线长度J(图2.1.1)，则由微积分相关知识容易得到：

(2.1.1)

显然，对于不同的曲线y(x)，对应于不同的长度J，即J是函数y(x)的函数，J=J[y(x)]。

图2.1.1 两点间任一曲线的长度

例2：历史上著名的变分问题之一——最速降线问题，如果2.1.2所示。设在不同铅垂线上的两点P1与P2连接成某一曲线，质点P在重力作用下沿曲线由点P1自由滑落到点P2，这里不考虑摩擦作用影响，希望得到质点沿什么样的曲线滑落所需时间最短。

图2.1.2 最速降线问题

选取一个表示曲线的函数y(x)，设质点从P1到P2沿曲线y=y(x)运动，则其运动速度为：

其中，S表示曲线的弧长，t表示时间，于是：

设重力加速度为g，则。

因为P1和P2点的横坐标分别为x1到x2，那么质点从P1到P2所用时间便为：

(2.1.2)

则最速降线问题对应于泛函J[y(x)]取最小值。

回顾函数的微分：

对于函数的微分有两种定义：

一种是通常的定义，即函数的增量：

(2.1.3)

其中A(x)与x无关，且有x→0时ρ(x,x)→0，于是就称函数y(x)是可微的，其线性部分称为函数的微分，函数的微分就是函数增量的主部。

函数微分的另外一种定义：

通过引入一小参数ε，对关于ε求导数，并令ε→0的途径得到，即：

(2.1.4)

上式说明在ε=0处关于ε的导数就是函数y(x)在x处的微分。相应地，在泛函J[y(x)]中，变量函数y(x)的增量在其很小时称为变分，用δy(x)或δy表示，指y(x)与它相接近的y1(x)的差，即：。

泛函的变分也有类似的两个定义：

对于函数y(x)的变分δy(x)所引起的泛函的增量为，当时泛函增量的线性主部就称为泛函J在函数y(x)处的变分，记为δJ，即：

(2.1.5)

其中L[y(x),δy(x)]是泛函增量的线性主部，而且其对于变分δy(x)是线性的。

另一种定义：

拉格朗日的泛函变分定义为：

泛函变分是对的导数在=0时的值，即：

(2.1.6)

首先，我们进行泛函：

(2.1.7)

的变分。

此泛函的增量可以用Taylor展式表示为：

(2.1.8)

当，上式积分中的前两项是增量的线性主部，后面的项为高阶无穷小量。

根据变分的定义，该泛函的变分为：

(2.1.9)

(2.1.9)也称为泛函J的一阶变分，而(2.1.8)式的后三项为二阶变分，记作δ2J，即：

(2.1.10)

也可以通过拉格朗日泛函变分的定义，得到：

(2.1.11)

此结果与(2.1.9)是相同的。

类似地，如果泛函的值决定于两个函数，并且这些函数是两个变量的函数，如： (2.1.12)

其变分为：

(2.1.13)

依此类推，不难得到多个多元函数的变分。

此处，泛函的变分满足下面的一些运算规律：

(1) (2.1.14a)

(2) (2.1.14b)

(3) (2.1.14c)

(4) (2.1.14d)

2.1.2 泛函的极值和变分问题

本节将讨论泛函的极值和变分。

微积分知识：

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