Brachistochrone curve(传说中的最速降线)

Brachistochrone 来自于古希腊语：βράχιστος χρόνος (brakhistos, superlative of brakhus short + chronos time)，意思是时间最短. Brachistochrone curve 指的就是"时间最短"的曲线.
关于最速降线问题的起源和发展参见：知乎贴，用一句话来概括就是：神仙打架！

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一、问题重述

一质量为 $m$ 的质点，在重力作用下从定点 $A\small A$ 沿曲线下滑至定点 $B\small B$ ，试确定一条曲线，使得质点由 $A\small A$ 下滑到 $B\small B$ 所需时间最短.
假定 $B\small B$ 比 $A\small A$ 低，重力加速度为常数 $g$ ，不计摩擦力和其他阻力等因素.

二、数学描述

建立坐标系，如图所示. 设曲线为 $y=y(x),(x∈[0,c])\small y=y(x),(x\in[0,c])$ ，满足 $y(0)=0,y(c)=H\small y(0)=0,y(c)=H$ ，且足够光滑，并设这样的函数组成的全体为集合 $C\small C$ ，我们的目标是求函数 $y$ ，使得
$min⁡C{质点沿y=y(x)由A到B的下滑时间}y=\argmin _C \{\,\textbf{质点沿}\,y=y(x)\, \textbf{由}\,A\,\textbf{到}\,B\,\textbf{的下滑时间}\,\}$

三、物理建模

一言一蔽之，曰：分割-近似-取极限.

分割：
建立相同坐标系，设 $A(0,0),B(c,H)\small A(0,0),B(c,H)$ ，将带状区域 $0<y<H\small 0<y<H$ 用平行于 $x$ 轴的直线 $y=yk=kH/n\small y=y_k=kH/n$ 分割成 $n$ 个小带状区域.

近似：
在带状区域 $y_{k-1}<y<y_k$ 内，可近似认为 $vk=2gykv_k=\sqrt{2gy_k}$

(根据能量守恒定律可得)不变，近似认为曲线为直线.

分析：怎样的路线才是最快的？先来考虑下述问题.

设质点从 $A1\small A_1$ 经直线 $l$ 到达 $A2\small A_2$ ，质点在 $l$ 上侧时速度为 $v_1$ ，下侧时速度为 $v_2$ ，请问质点应沿什么路线运动才最省时？

因为质点在直线两侧时速度不变，所以运动轨迹应是折线，折点在直线 $l$ 上，问题转化为确定最佳折点的位置.

设 $A1O⊥l,A2D⊥l,C\small A_1O\perp l,A_2D\perp l,C$ 为折点，其余标注如图所示，只有 $x$ 为变量.

则质点由 $A1\small A_1$ 到 $A2\small A_2$ 所需时间为 $t=A1Cv1+CA2v2=x2+a2v1+(c−x)2+b2v2t=\frac{A_1C}{v_1}+\frac{CA_2}{v_2}=\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{v_1}+\frac{\sqrt{(c-x)^2+b^2}}{v_2}$

+v2(c−x)2+b2

对

x

求导

dtdx=1v12xx2+a2−1v22(c−x)(c−x)2+b2\frac{dt}{dx}=\frac{1}{v_1}\frac{2x}{\sqrt{x^2+a^2}}-\frac{1}{v_2}\frac{2(c-x)}{\sqrt{(c-x)^2+b^2}}

唯一驻点满足

dtdx=0⇒1v1xx2+a2=1v2(c−x)(c−x)2+b2\frac{dt}{dx}=0\Rightarrow\frac{1}{v_1}\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}=\frac{1}{v_2}\frac{(c-x)}{\sqrt{(c-x)^2+b^2}}

即

sin⁡α1v1=sin⁡α2v2\frac{\sin\alpha_1}{v_1}=\frac{\sin\alpha_2}{v_2}

这就是光学中的

Snell\small \textrm{Snell}

折射定律，即光沿"最短路径"传播.

回过头来继续看我们的问题

考虑质点经过第 $k$ 层与第 $k + 1$ 层，根据近似，质点在每层中速度不变，由上述结论知，要使时间最短， $αk,αk+1\alpha_{k},\alpha_{k+1}$ 应满足 $sin⁡αkvk=sin⁡αk+1vk+1\frac{\sin\alpha_k}{v_k}=\frac{\sin\alpha_{k+1}}{v_{k+1}}$ 对任意的 $k$ 成立，则 $sin⁡αkvk=C1(常数)\frac{\sin\alpha_k}{v_k}=C_1(\textbf{常数})$ 取极限：
令 $n→∞n\to\infin$ ，平行线间距趋于零，对于曲线上任意一点，都有 $sin⁡αv=C1(常数)\frac{\sin\alpha}{v}=C_1(\textbf{常数})$ 其中 $α\alpha$ 为该点切线与铅垂线夹角，如图所示.

$∵α+β=π2,y′=tan⁡β∴sin⁡α=cos⁡β=1(tan⁡β)2+1=1(y′)2+1\begin{aligned}&\because\alpha+\beta=\frac{\pi}{2},y'=\tan\beta\\&\therefore\sin\alpha=\cos\beta=\frac{1}{\sqrt{(\tan\beta)^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{(y')^2+1}}\end{aligned}$

1=(y′)2+1

1再由

v=2gyv=\sqrt{2gy}

，得

sin⁡αv=12gy(y′)2+1=C1⇒y(1+(y′)2)=C(常数)\frac{\sin\alpha}{v}=\frac{1}{\sqrt{2gy}\sqrt{(y')^2+1}}=C_1\Rightarrow y(1+(y')^2)=C(\textbf{常数})

四、数学建模

上面算是用物理方法得到的结论，下面让我们看看复杂而严谨的数学方法，首先需要一些数学基础，鉴于我也没学过，就抄一下.

1. 数学基础

(1) 泛函

首先来介绍一种特殊的映射，泛函. 以前我们接触最多的映射是函数，即数集到数集的映射 $f:R→R\small f:R\to R$ . 所谓的泛函，指的是这样一种映射：

设 $C\small C$ 是一个函数集，对于 $C\small C$ 中任何一个元素 $y(x)\small y(x)$ ，数集 $B\small B$ 中都有唯一的一个元素 $J\small J$ 与之对应，则称 $J\small J$ 为 $y(x)\small y(x)$ 的泛函数，记作 $J = J [y (x)]$ 泛函的值是数，自变量是函数，泛函是函数的推广. 特别地，我们这里考虑的集合 $C\small C$ 中的元素是这样的函数 $y(a)=y_1,y(b)=y_2$ 其中 $y_1,y_2$ 为常数， $y(x)\small y(x)$ 充分光滑.

几何上来看， $C\small C$ 中的元素均是由点 $A(a,y1)\small A(a,y_1)$ 到点 $B(b,y2)B\small (b,y_2)$ 的光滑曲线.

一般情况下，泛函可以用以下积分式来表示 $J[y(x)]=∫abF(x,y,y′)dxJ[y(x)]=\int_{a}^{b}F(x,y,y')dx$

(2) 泛函变分

函数 $y=f(x)\small y=f(x)$ 的微分 $d y$ 指的是由于自变量 $x0→x0+dxx_0\to x_0+dx$ 所引起的因变量 $y$ 的变化量的线性近似 $dy=f′(x0)dx=dfdx∣x=x0dxdy=f'(x_0)dx=\frac{df}{dx}\Big|_{x=x_0}dx$ 而泛函 $J[y(x)]\small J[y(x)]$ 的变分 $δJ\small \delta J$ 指的是由于自变量 $y→y+δyy\to y+\delta y$ 所引起的因变量 $J\small J$ 的变化量的线性近似 $δJ\small \delta J$ .

下面仿照函数微分来定义泛函变分.

假定 $y(x)(∈C)\small y(x)(\in C\,)$ 和 $F(x,y,y′)\small F(x,y,y')$ 充分光滑，考虑泛函 $J[y(x)]=∫abF(x,y,y′)dxJ[y(x)]=\int_{a}^{b}F(x,y,y')dx$ 当 $y$ 有微小变化 $δy\delta y$ ( $δy\delta y$ 也是 $x$ 的函数) 时，函数 $F\small F$ 的改变量约等于微分，即 $ΔF=F(x,y+δy,y′+δy′)−F(x,y,y′)≈∂F∂yδy+∂F∂y′δy′=dF\Delta F=F(x,y+\delta y,y'+\delta y')-F(x,y,y')\approx \frac{\partial F}{\partial y}\delta y+\frac{\partial F}{\partial y'}\delta y'=dF$ 则其泛函的改变量约等于变分 $δJ\small \delta J$ $ΔJ=J[y(x)+δy(x)]−J[y(x)]=∫ab[F(x,y+δy,y′+δy′)−F(x,y,y′)]dx≈∫ab(∂F∂yδy+∂F∂y′δy′)dx=δJ\begin{aligned}\Delta J&=J[y(x)+\delta y(x)]-J[y(x)]\\&=\int_{a}^{b}[F(x,y+\delta y,y'+\delta y')-F(x,y,y')]dx\\&\approx \int_{a}^{b}\Big(\frac{\partial F}{\partial y}\delta y+\frac{\partial F}{\partial y'}\delta y'\Big)dx\\&=\delta J \end{aligned}$

(3) 泛函极值

在一元函数 $y = y (x)$ 中， $y$ 在 $x=x_0$ 处取极值的必要条件是 $dydx∣x=x0=0\frac{dy}{dx}\Big|_{x=x_0}=0$ 下面证明泛函 $J\small J$ 取极值的必要条件是 $δJ=0\delta J=0$ 或者 $∂F∂y−ddx(∂F∂y′)=0\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}\Big(\frac{\partial F}{\partial y'}\Big)=0$
设泛函 $J\small J$ 在 $y = y (x)$ 处取极值，取 $δy\delta y$ 的特殊形式： $δy=ϵφ(x)\delta y=\epsilon \varphi(x)$ 其中 $ϵ\epsilon$ 为任意小的实数， $φ(x)\varphi(x)$ 为充分光滑的任意函数，且满足 $φ(a)=φ(b)=0\varphi(a)=\varphi(b)=0$ 则函数 $y+δy∈C\small y+\delta y\in C$ . 令 $G(ϵ)=J[y(x)+ϵφ(x)]=J[y(x)]+δJ=J[y(x)]+ϵ∫ab(∂F∂yφ(x)+∂F∂y′φ′(x))dx\begin{aligned}G(\epsilon)&=J[y(x)+\epsilon \varphi(x)]\\&=J[y(x)]+\delta J\\&=J[y(x)]+\epsilon\int_{a}^{b}\Big(\frac{\partial F}{\partial y}\varphi(x)+\frac{\partial F}{\partial y'} \varphi'(x)\Big)dx\end{aligned}$ (上式中第二个等号应该是约等号，但因为 $ϵ\epsilon$ 是任意小的实数，同时为了证明能够顺利进行，暂且允许这么一点瑕疵)
由 $J\small J$ 在 $y = y (x)$ 处取极值可知， $G(ϵ)\small G(\epsilon)$ 在 $ϵ=0\epsilon=0$ 处取极值，则有 $dGdϵ∣ϵ=0=∫ab(∂F∂yφ(x)+∂F∂y′φ′(x))dx=0\frac{dG}{d\epsilon}\Big|_{\epsilon=0}=\int_{a}^{b}\Big(\frac{\partial F}{\partial y}\varphi(x)+\frac{\partial F}{\partial y'} \varphi'(x)\Big)dx=0$ 两端同乘 $ϵ\epsilon$ ，则有 $δJ=∫ab(∂F∂yϵφ(x)+∂F∂y′ϵφ′(x))dx=0\delta J=\int_{a}^{b}\Big(\frac{\partial F}{\partial y}\epsilon\varphi(x)+\frac{\partial F}{\partial y'}\epsilon\varphi'(x)\Big)dx=0$ 下证第二个必要条件： $∂F∂y−ddx(∂F∂y′)=0\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}\Big(\frac{\partial F}{\partial y'}\Big)=0$
$0=∫ab(∂F∂yφ(x)+∂F∂y′φ′(x))dx=∫ab∂F∂yφ(x)dx+∫ab∂F∂y′d(φ(x))(应用分部积分)=∫ab∂F∂yφ(x)dx+∂F∂y′φ(x)∣ab−∫abφ(x)ddx(∂F∂y′)dx(φ(a)=φ(b)=0)=∫ab[∂F∂y−ddx(∂F∂y′)]φ(x)dx\begin{aligned}0&=\int_{a}^{b}\Big(\frac{\partial F}{\partial y}\varphi(x)+\frac{\partial F}{\partial y'} \varphi'(x)\Big)dx\\&=\int_{a}^{b}\frac{\partial F}{\partial y}\varphi(x)dx+\int_{a}^{b}\frac{\partial F}{\partial y'} d(\varphi(x)) \quad\textbf{(应用分部积分)}\\&=\int_{a}^{b}\frac{\partial F}{\partial y}\varphi(x)dx+\frac{\partial F}{\partial y'} \varphi(x)\Big|_a^b-\int_{a}^{b}\varphi(x)\frac{d}{dx}\Big(\frac{\partial F}{\partial y'}\Big)dx\quad (\varphi(a)=\varphi(b)=0)\\&= \int_{a}^{b}\bigg[\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}\Big(\frac{\partial F}{\partial y'}\Big)\bigg]\varphi(x)dx\end{aligned}$
这里需要介绍一个引理：

设 $E={g∣g(a)=g(b)=0,g∈C1[a,b]}\small E=\{g\,|\,g(a)=g(b)=0\,,\,g\in C^1[a,b]\}$ ，即由在 $[a,b]\small [a,b]$ 上连续且端点函数值为零的函数组成的集合，若 $[a,b]\small [a,b]$ 上的连续函数 $f$ 满足：

$∀g∈E\forall\, g\in E$ ，都有 $∫abf(x)g(x)dx=0\int_a^bf(x)g(x)dx=0$ 则 $f(x)≡0f(x)\equiv 0$ .

套用该引理，由 $φ(x)\varphi(x)$ 的任意性，可得 $∂F∂y−ddx(∂F∂y′)=0\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}\Big(\frac{\partial F}{\partial y'}\Big)=0$ 这个式子被称为欧拉—拉格朗日方程，简记为 $E\textrm{E}$ - $L\textrm{L}$ 方程.

至此，泛函取极值的两个必要条件证毕！

2. 数学分析

下面对最速降线问题重新进行数学上的分析.

设质点经过曲线上点 $P(x,y)\small P(x,y)$ 时速度为 $v$ ，由能量守恒定律 $mgy=12mv2mgy=\frac{1}{2}mv^2$ 解得 $v=2gyv=\sqrt{2gy}$

. 弧微分

ds=1+(y′)2dxds=\sqrt{1+(y')^2}\,dx

，经过这一小段弧时近似认为速度不变，则所需时间为

dt=dsv=1+(y′)22gydxdt=\frac{ds}{v}=\frac{\sqrt{1+(y')^2}}{\sqrt{2gy}}dx

从

A

下滑到

B

所需总时间

T=∫dt=∫0c1+(y′)22gydx=12g∫0c1+(y′)2ydxT=\int dt=\int_0^c\frac{\sqrt{1+(y')^2}}{\sqrt{2gy}}dx=\frac{1}{\sqrt{2g}}\int_0^c\frac{\sqrt{1+(y')^2}}{\sqrt{y}}dx

令

J[y(x)]=∫0c1+(y′)2ydxJ[y(x)]=\int_0^c\frac{\sqrt{1+(y')^2}}{\sqrt{y}}dx

则

J\small J

是

y (x)

的泛函，被积函数为

F(y,y′)\small F(y,y')

的形式，显然也是

F(x,y,y′)\small F(x,y,y')

的形式.

我们的目标是求 $y=\argmin_C \,T=\argmin_C \,J[y(x)]$ 则 $J[y(x)]\small J[y(x)]$ 在 $y$ 处取极值，由第二必要条件( $E\,\textrm{E}$ - $L\textrm{L}$ 方程)： $∂F∂y−ddx(∂F∂y′)=0\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}\Big(\frac{\partial F}{\partial y'}\Big)=0$ 于是 $ddx(F(y,y′)−y′∂F∂y′)=∂F∂yy′+∂F∂y′y′′−(y′′∂F∂y′+y′ddx(∂F∂y′))=y′(∂F∂y−ddx(∂F∂y′))=0\begin{aligned}\frac{d}{dx}\Big(F(y,y')−y'\frac{\partial F}{\partial y'}\Big)&=\frac{\partial F}{\partial y}y'+\frac{\partial F}{\partial y'}y''-\Big(y''\frac{\partial F}{\partial y'}+y' \frac{d}{dx}\Big(\frac{\partial F}{\partial y'}\Big)\Big)\\&=y'\Big(\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}\Big(\frac{\partial F}{\partial y'}\Big)\Big)\\&=0\end{aligned}$ 则 $F(y,y′)−y′∂F∂y′=C1(常数)F(y,y')−y'\frac{\partial F}{\partial y'}= C_1(\textbf{常数})$ 将 $F(y,y′)=1+(y′)2y,∂F∂y′=1yy′1+(y′)2F(y,y')=\frac{\sqrt{1+(y')^2}}{\sqrt{y}},\,\,\frac{\partial F}{\partial y'}=\frac{1}{\sqrt{y}}\frac{y'}{\sqrt{1+(y')^2}}$

1+(y′)2

,∂y′∂F=y

11+(y′)2

y′ 代入，得

1+(y′)2y−y′y′y1+(y′)2=1y1+(y′)2=C1(常数)\frac{\sqrt{1+(y')^2}}{\sqrt{y}}-y'\frac{y'}{\sqrt{y}\sqrt{1+(y')^2}}=\frac{1}{\sqrt{y}\,\sqrt{1+(y')^2}}= C_1(\textbf{常数})

两边平方，则

y(1+(y′)2)=C(常数)y(1+(y')^2)= C(\textbf{常数})

五、曲线求解

通过两种方法得到的结果相同，即最速曲线应满足 $y(1+(y′)2)=C(常数)y(1+(y')^2)=C(\textbf{常数})$ 下面进行求解.

根据上图 $y′=tan⁡β=cot⁡αy'=\tan\beta=\cot\alpha$ ，因为质点一直向下滑(如果向上，肯定不是最优曲线)，所以 $0≤α≤π/20\leq\alpha\leq\pi/2$ .

令 $2 R = C$ ，令 $y′=dy/dx=cot⁡(θ/2)\displaystyle y'=dy/dx=\cot(\theta/2)$ ，则 $θ=2α\theta=2\alpha$ ，所以 $0≤θ≤π0\leq\theta\leq\pi$ .

设 $x$ 是 $θ\theta$ 的函数，即 $x=x(θ)x=x(\theta)$ ，我们的目标是求 $x(θ)x(\theta)$ .

由 $1+cot⁡2θ2=1+cos⁡2θ2sin⁡2θ2=sin⁡2θ2+cos⁡2θ2sin⁡2θ2=1sin⁡2θ2=21−cos⁡θ1+\cot^2\frac{\theta}{2}=1+\frac{\cos^2\displaystyle\frac{\theta}{2}}{\sin^2\displaystyle\frac{\theta}{2}}=\frac{\sin^2\displaystyle\frac{\theta}{2}+\cos^2\displaystyle\frac{\theta}{2}}{\sin^2\displaystyle\frac{\theta}{2}}=\frac{1}{\sin^2\displaystyle\frac{\theta}{2}}=\frac{2}{1-\cos\theta}$ 所以 $y(1+(y′)2)=y(1+cot⁡2θ2)=2y1−cos⁡θ=2R⇒y=R(1−cos⁡θ)y(1+(y')^2)=y(1+\cot^2\frac{\theta}{2})=\frac{2y}{1-\cos\theta}=2R\Rightarrow y=R(1-\cos\theta)$ 由 $dydx=cot⁡θ2=cos⁡θ2sin⁡θ2,dydθ=Rsin⁡θ=2Rsin⁡θ2cos⁡θ2\frac{dy}{dx}=\cot\frac{\theta}{2}=\frac{\cos\displaystyle\frac{\theta}{2}}{\sin\displaystyle\frac{\theta}{2}},\,\,\frac{dy}{d\theta}=R\sin\theta=2R\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}$ 则 $x′(θ)=dxdθ=dydθ/dydx=2Rsin⁡θ2cos⁡θ2sin⁡θ2cos⁡θ2=2Rsin⁡2θ2=R(1−cos⁡θ)x'(\theta)=\frac{dx}{d\theta}=\frac{dy}{d\theta}/\frac{dy}{dx}=2R\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}\frac{\sin\displaystyle\frac{\theta}{2}}{\cos\displaystyle\frac{\theta}{2}}=2R\sin^2\frac{\theta}{2}=R(1-\cos\theta)$ 所以 $x(θ)=∫x′(θ)dθ=∫R(1−cos⁡θ)dθ=R(θ−sin⁡θ)+C1x(\theta)=\int x'(\theta)d\theta=\int R(1-\cos\theta)d\theta=R(\theta-\sin\theta)+C_1$

得到 $x, y$ 关于 $θ\theta$ 的参数方程 ${x(θ)=R(θ−sin⁡θ)+C1y(θ)=R(1−cos⁡θ),0≤θ≤π\begin{cases}x(\theta)=R(\theta-\sin\theta)+C_1\\y(\theta)=R(1-\cos\theta)\end{cases},\,0\leq\theta\leq\pi$ 还有两个待定系数 $R,C1\small R,C_1$ ，别忘了我们还有两个边界条件没用呢，即 $y(0)=0,y(c)=Hy(0)=0,\,y(c)=H$ 先消去参数 $θ\theta$ ，作变量代换 $θ=arccos⁡(1−yR),0≤θ≤π\theta=\arccos(1-\frac{y}{R}),\,0\leq\theta\leq\pi$ 则 $x=Rarccos⁡(1−yR)−R2yR−y2R2+C1=Rarccos⁡(1−yR)−y(2R−y)+C1\begin{aligned}x&=R\arccos(1-\frac{y}{R})-R\sqrt{2\frac{y}{R}-\frac{y^2}{R^2}}+C_1\\&=R\arccos(1-\frac{y}{R})-\sqrt{y(2R-y)}+C_1\end{aligned}$

+C1=Rarccos(1−Ry)−y(2R−y)

+C1将边界条件换种描述方式，即

x (0) = 0, x (H) = c

将其代入方程，得

x(0)=Rarccos⁡(1)+C1=C1=0x(H)=Rarccos⁡(1−HR)−H(2R−H)+0=c\begin{aligned}x(0)&=R\arccos(1)+C_1=C_1=0\\x(H)&=R\arccos(1-\frac{H}{R})-\sqrt{H(2R-H)}+0=c\end{aligned}

则

C1=0,R\small C_1=0,R

的值可以由

H,c\small H,c

确定. 参数方程变为

{x(θ)=R(θ−sin⁡θ)y(θ)=R(1−cos⁡θ),0≤θ≤π\begin{cases}x(\theta)=R(\theta-\sin\theta)\\y(\theta)=R(1-\cos\theta)\end{cases},\,0\leq\theta\leq\pi

其实

θ\theta

的值只有在

c/H=π/2\small c/H=\pi/2

时才能取到

π\pi

(看完下一部分你便知晓原因了)，其余情况下

θ<π\theta<\pi

可能有些读者已经看出来了，上述参数方程正是滚轮线(也叫摆线)，参数 $R\small R$ 表示滚轮半径. 所以最速降线是滚轮线的一部分.

六、结果解释

滚轮线的参数方程推导过程如下：

由于轨迹是无摩擦匀速滚动产生的，所以轮与地面接触点 $B\small B$ 的速度始终为 $0\small 0$ ， $B$ 点为瞬时旋转中心.

设转过的角度为 $θ\theta$ ，角速度为 $w$ ，则圆心 $A\small A$ 的速度 $v = w R$ ，移动的距离 $EA=vt=Rwt=Rθ\small EA=vt=Rwt=R\theta$ . 设点 $C\small C$ 坐标 $(x(θ),y(θ))\small (x(\theta),y(\theta))$ ，则 $EC=x(θ),BD=y(θ)\small EC=x(\theta),BD=y(\theta)$ .

$EA=EC+CA⇒Rθ=x(θ)+Rsin⁡θBA=BD+DA⇒R=y(θ)+Rcos⁡θ\begin{aligned}EA=EC+CA&\Rightarrow R\theta=x(\theta)+R\sin\theta \\ BA=BD+DA&\Rightarrow R=y(\theta)+R\cos\theta\end{aligned}$ 所以滚轮线的参数方程为 ${x(θ)=R(θ−sin⁡θ)y(θ)=R(1−cos⁡θ),0≤θ≤2π\begin{cases}x(\theta)=R(\theta-\sin\theta)\\y(\theta)=R(1-\cos\theta)\end{cases},\,0\leq\theta\leq2\pi$ 参数 $θ\theta$ 表示转过的角度.

下面来验证滚轮线就是最速降线，根据物理建模的结论(即下面这个图，其中 $α\alpha$ 为该点切线与铅垂线夹角)：

最速降线需满足 $sin⁡αv=C(常数)\frac{\sin\alpha}{v}=C(常数)$ 由 $v=2gyv=\sqrt{2gy}$

，得

sin⁡αy=C(常数)⇒sin⁡2αy=C(常数)\frac{\sin\alpha}{\sqrt{y}}=C(常数)\Rightarrow\frac{\sin^2\alpha}{y}=C(常数)

对滚轮线的图作些变动

因为 $BF\small BF$ 为直径，所以 $BC⊥CF\small BC\perp CF$ .
由 $B\small B$ 点瞬时速度为 $0\small 0$ ，所以 $C\small C$ 点的速度方向与 $BC\small BC$ 垂直.
即 $CF→\small \overrightarrow{CF}$

为速度方向，直线

CF\small CF

为滚轮线的切线.

则两张图中的 $α\alpha$ 是一致的.
因为 $CG//BF\small CG//BF$ ，所以 $∠AFC=∠FCG=α\small \angle AFC=\angle FCG=\alpha$ .
由弦切角定理， $∠GBC=∠AFC=α\small \angle GBC=\angle AFC=\alpha$ . 所以 $y=CG=BCsin⁡α=BFsin⁡αsin⁡α=BFsin⁡2α=2Rsin⁡2αy=CG=BC\sin\alpha=BF\sin\alpha\sin\alpha=BF\sin^2\alpha=2R\sin^2\alpha$ 所以 $sin⁡2αy=12R(常数)\frac{\sin^2\alpha}{y}=\frac{1}{2R}(\textbf{常数})$ 验证完毕.

最速降线是滚轮线这一巧合已经足以让人称奇，下面来看一件更加巧合的事情.

考虑轮子上点 $C\small C$ 的速度，设此时 $C\small C$ 的纵坐标也是 $y$ ，对应角度为 $α\alpha$ ，根据上述过程，有 $y=2Rsin⁡2α\small y=2R\sin^2\alpha$ . 因为点 $B\small B$ 是瞬时旋转中心，所以 $C\small C$ 的速度 $vc=w⋅BC=w⋅2Rsin⁡α\small v_c=w\cdot BC=w\cdot 2R\sin\alpha$ .

我们已经知道，如果质点沿最速降线下滑，则其在 $(x,y)\small (x,y)$ 处的速度为 $v=2gyv=\sqrt{2gy}$

. 将

y=2Rsin⁡2α\small y=2R\sin^2\alpha

代入，得

v=2g⋅2Rsin⁡2α=2gRsin⁡α\small v=\sqrt{2g\cdot 2R\sin^2\alpha}=2\sqrt{gR}\sin\alpha

对比这两个式子 $vc=w⋅2Rsin⁡αv_c=w\cdot 2R\sin\alpha$ $v=2gRsin⁡αv=2\sqrt{gR}\sin\alpha$

sinα若

w=gR\displaystyle w=\sqrt{\frac{g}{R}}

，则

v=v_c

. 这说明了什么？我想大家应该已经清楚了. 即若轮子旋转的角速度与半径之间满足

w=g/R\small w=\sqrt{g/R}

，不仅得到的曲线是最速降线，且轮上点的运动速度与沿这条曲线运动(可能是下滑也可能是上滑)的质点的速度相同，

is!\textrm{How amazing it is!}

(来源：下方B站视频)

七、补充资料

B站视频：最速降线问题——最快下滑路径为什么是旋轮线？（中英字幕）

维基百科：
1. Brachistochrone_curve(最速降线) (里面有"神仙"们的解法)
2. 旋轮线 (里面有其他有趣的性质)

参考文献：
1.于涛.数学物理方程与特殊函数[M].北京:科学出版社,2008.

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