这篇文章是为了回答一位知友的提问而作的向未了解过变分法这个概念的读者介绍它的文章，因此本文只涉及一些变分法的入门知识。在从极值条件导出欧拉方程时只涉及泛函变分的Lagrange定义，这样一来就不必引入关于分离泛函线性主部的讨论。行文时并不过分追求数学的严密性并只假定读者具有基础的微积分尤其是复合函数求取偏导数的知识。

1.泛函与泛函极值

提起变分法这个名词就不得不先来谈谈泛函的概念，撇开数学上的定义不谈让我们先来看几个例子：

首先就是题主问到的最速降线问题，它是Galileo于1630年首先提出来的。如章首图所示在平面直角坐标系里给定点

，在区间

上有一条曲线

连结这两个点。现在让我们在

点放上一个小球，这样它就由于受到重力作用沿着曲线运动起来，运动到

点的时间很容易计算出来：

(如果读者觉得这不容易的话阅读这篇文章并不是个明智之举)。这里我们看到所用的时间

是依赖于函数

的具体形式的，现在的问题是如何选择

的形式能够使

取得最小值？

再来举一个吹肥皂泡的例子：想要玩吹泡泡这个游戏看来我们需要准备一些工具——一个由铁丝围起来的封闭形状。我们的生活经验会毫不犹豫地告诉我们肥皂液在铁丝上形成一个平面而不是凹凸不平的曲面(略去重力的影响)。在物理上这件事的解释是液体的膜具有一种叫做表面张力的性质，某种程度上读者可以把肥皂膜理解为橡皮膜，它有使自己绷紧达到表面积最小的趋势，显然平面比凹凸不平的面具有更小的面积。不过如果我们的铁丝圈本来不在一个平面上会怎么样呢？这样一来无论如何肥皂膜再不能是平面了。我们假设那个铁丝圈由曲线方程

决定，肥皂膜的方程由定义在

上(闭曲线

在坐标平面上的投影)的函数

表示，它的面积就可以表示成二重积分

，现在的问题是

取何种形式能使得这积分式最小？

最后来举一个力学上的例子。对于某些确定的力学系统我们可以用一些变量来决定它的位形。比如说一个弹簧振子，决定它的位形只需要用其偏离平衡位置的坐标就好了(设为

)，如果我们想知道这振子的运动规律只需要知道

依赖于时间的形式即

。那这件事如何办到呢？这可以从一个物理原理——最小作用量原理出发。实验表明存在这样的一个函数

(动能减势能)，真实的运动方程使得积分

在给定边界条件(初末态的位置)时取得最小值。现在我们该怎样求得

呢？

我们看到上面的这些例子里我们所关注的变量都依赖于一个函数的表达形式，这种以函数为自变量的函数就被称作是泛函。而要解决这些问题就是要定出当泛函取得极值时自变量函数的形式。

2.依赖于一个一元函数的固定边界最简泛函极值问题

下面就让我们来考虑一种特定形式的泛函并且来想一想如何求出它的极值。设

是依赖于三个独立变量

的函数，设待求解函数

应满足在端点处取固定值，记作

，泛函则形如

这种特定形式的泛函极值问题就被称为固定边界的最简泛函极值问题。类似于求取普通的函数极值我们有微分法，求取泛函极值的一种特定的方法被称作变分法。我们马上就将看到这方法具体是如何实施的。

对于给定的函数

，我们可以在其上加上一个改变量

使它变为另一个函数

，这被加上的改变量称作是函数

在

处的变分。为了使

仍满足固定边界条件我们取

。值得指出的是变分与微分是很不同的，后者是由于自变量的改变而引起的函数值的改变，而前者指自变量取相同值时函数的变化量。显然这时导数的变分

，后面我们将把

直接记作

。现在在变分

前乘上一个数

并构造以此数为自变量的函数：

.

如果在这个式子中

已经使得泛函取极值，那在

的情况下

任取为不等于0的数都会使得函数

的值变大(或变小)，换句话说

是函数

的极值点，此时应有

。于是：

上面的推导中用到了求导与积分交换顺序和复合函数求偏导数的数学定理。对积分的第二项使用分部积分法：

.

由于变分

在边界处的取值为0，所以积分号外的项值为0。而

是能任意选取的函数所以若要积分式恒为0必有其前面的系数

恒成立，这个微分方程就是泛函取极值时应满足的微分方程，它是瑞士数学家Euler于1736年得到的。

Euler方程是求解泛函极值问题的极好工具，因为它将定义在整个区间上的问题转化成了只需考虑函数临近部分关系的微分方程问题。在笔者看来能做到这点的原因是与最简泛函的形式密切相关的，如果泛函在整体上具有某种取得最小值的性质，由于积分是各个分段区间上的求和，整体的最值条件要求被积函数在分段的小区间上也必须满足取最值的条件，因此本来是在有限区间上的问题就能被我们转化成微分方程了。

Euler方程可以被推广到依赖于多元函数的情形，对于文章第一部分提到的二元函数情形，极值曲面应满足的微分方程是

。

3.应用举例

【例1】求解最速降线问题。

【解】在这个问题里被积表达式不显含

，Euler方程等价于

(请读者试着推导) ，也就是说

为一常数。

取参数

使得

，于是

。而

，积分求得

的表达式为

。带入边界条件可以定出任意常数的值，稍微化简一下得到：

这是一条摆线的方程。

【例2】(弦振动方程)考虑一根长为

的两端固定的弦，设其线密度为

，弦上具有恒定张力

(由于微振动故假设张力在振动过程中不改变)。求解弦线做微小振动时位移满足的微分方程。弦振动问题

【解】设时刻

时位于

处质元的纵向位移为

，遵照本文之前提到的最小作用量原理，先来表示弦线具有的动能和势能。

在弦线形变不大时将它的伸长量精确到一阶，即

。势能化作

。

现在泛函

应取极值， 利用上文提到的推广到二元函数的Euler方程就得到弦振动方程

.

熟悉这方程的读者想必知道

即是弦线上波动的传播速度。