本章主要介绍了随机变量的基本概念、离散型随机变量和连续型随机变量的分布。

习题二
- 22.
- - （1）分子运动速度的绝对值XXX服从麦克斯韦分布，其概率密度为f(x)={Ax2e−x2b,x>0,0,其他f(x)=\begin{cases}Ax^2e^{-\frac{x^2}{b}},&x>0,\\0,&\text{其他}\end{cases}f(x)={Ax2e−bx2,0,x>0,其他其中b=m2kTb=\cfrac{m}{2kT}b=2kTm，kkk为玻尔兹曼常数，TTT为绝对温度，mmm是分子的质量，试确定常数AAA。
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习题二

22.

（1）分子运动速度的绝对值XXX服从麦克斯韦分布，其概率密度为f(x)={Ax2e−x2b,x>0,0,其他f(x)=\begin{cases}Ax^2e^{-\frac{x^2}{b}},&x>0,\\0,&\text{其他}\end{cases}f(x)={Ax2e−bx2,0,x>0,其他其中b=m2kTb=\cfrac{m}{2kT}b=2kTm，kkk为玻尔兹曼常数，TTT为绝对温度，mmm是分子的质量，试确定常数AAA。

解因XXX的概率密度函数具有性质
∫−∞∞f(x)dx=1,\displaystyle\int^\infty_{-\infty}f(x)\mathrm{d}x=1, ∫−∞∞f(x)dx=1,
故由
1=∫−∞∞f(x)dx=∫0∞Ax2e−x2bdx=−Ab2xe−x2b∣0∞+Ab2∫0∞e−x2bdx=u=xbAbb2∫0∞e−u2du=Abb4π.\begin{aligned} 1&=\displaystyle\int^\infty_{-\infty}f(x)\mathrm{d}x=\displaystyle\int^\infty_0Ax^2e^{-\frac{x^2}{b}}\mathrm{d}x\\ &=-A\cfrac{b}{2}xe^{-\frac{x^2}{b}}\biggm\vert^\infty_0+\cfrac{Ab}{2}\displaystyle\int^\infty_0e^{-\frac{x^2}{b}}\mathrm{d}x\\ &\xlongequal{u=\cfrac{x}{\sqrt{b}}}\cfrac{Ab\sqrt{b}}{2}\displaystyle\int^\infty_0e^{-u^2}\mathrm{d}u=\cfrac{Ab\sqrt{b}}{4}\sqrt{\pi}. \end{aligned} 1=∫−∞∞f(x)dx=∫0∞Ax2e−bx2dx=−A2bxe−bx2∣∣∣∣0∞+2Ab∫0∞e−bx2dxu=bx2Abb∫0∞e−u2du=4Abbπ.
（由∫−∞∞e−t22dt=2π\displaystyle\int^\infty_{-\infty}e^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t=\sqrt{2\pi}∫−∞∞e−2t2dt=2π，知∫0∞e−u2du=π2\displaystyle\int^\infty_0e^{-u^2}\mathrm{d}u=\cfrac{\sqrt{\pi}}{2}∫0∞e−u2du=2π）得到
A=4bbπ.A=\cfrac{4}{b\sqrt{b\pi}}. A=bbπ4.
（这道题主要利用了已知的函数积分求解）

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