LeetCode 水壶问题
文章目录
- 水壶问题
- 题目
- 解题思路
- 代码实现
- 实现结果
水壶问题
题目来源:https://leetcode-cn.com/problems/water-and-jug-problem/
题目
有两个容量分别为 x 升和 y 升的水壶以及无限多的水。请判断能否通过使用这两个水壶,从而可以得到恰好 z 升的水?
如果可以,最后请用以上水壶中的一或两个来盛放取得的 z 升水。
你允许:
- 装满任意一个水壶
- 清空任意一个水壶
- 从一个水壶向另外一个水壶倒水,直到装满或者倒空
示例 1: (From the famous “Die Hard” example)
输入: x = 3, y = 5, z = 4
输出: True
示例 2:
输入: x = 2, y = 6, z = 5
输出: False
解题思路
思路:裴蜀定理
裴蜀定理是关于最大公约数的定理。
对于任何整数 a、b 和 m,d 为 a 及 b 的最大公约数,关于未知数 x 和 y 的线性不定方程:
ax+by=max + by = max+by=m
有整数解时,当且仅当 m 是 a 及 b 的最大公约数 d 的倍数。
审题可得:其实每次操作可以认为是让壶里的水总量增加 x,增加 y,减少 x,减少 y。
这里涉及到一个壶的水不空的情况下,那么对于上面的结论来说明显是不成立。不着急,这里解释下:
对于示例 1,题目给出 x = 3, y = 5, z = 4。
尝试如何让壶盛放 4 升的水。(这里将可盛放 x 升水的壶设为 A,可盛放 y 升水的壶设为 B,形如 (0, 0),表示两个壶盛放的水)
- 首先将 B 装满,此时两个壶盛放水的情况:(0, 5);
- 将 B 壶的水倒入 A 中,两个壶的情况:(3, 2);
- 将 A 壶中的水倒掉,两个壶的情况:(0, 2);
- 再次将 B 壶中的水倒入 A 中,此时:(2, 0);
- 将 B 壶装满,此时两个壶的情况:(2, 5);
- 将 B 壶的水倒入 A 中直至倒满,此时:(3, 4)。
这个时候 ,B 壶中的水为 4 升,即是所求得结果。
- 在这里,我们可以观察到,在操作的过程中,是不会让两个壶同时有水且不满的情况发生。
- 而且,给未满的壶盛放水并没有意义。假设给一个未满的壶盛放水时,如果另外一个壶是满的,那这种情况就相当于初始状态下直接给两个壶装满;如果另一个壶是空的,那这个就相当于是直接在初始状态下,给当前壶盛满水。
- 同样的,将未满的壶中的水倒掉也是没有意义的。假设倒掉一个未满的壶中的水,如果另外一个壶是满的,这种情况就相当于初始状态下直接给另外一个壶装满水;如果另外一个壶是空的,那么这将又回到初始的状态。
所以这里就可以明确前面所得的结论:每次操作,水的总量只会带来 x 或 y 的变化量。
现在我们将问题转化为求一对整数 a,b,使得
ax+by=zax + by = zax+by=z
只要满足 z≤x+yz \leq x+yz≤x+y,表示目标可得。
注意,这里跟上面的裴蜀定理的式子有所不同,这里 a,b 表示所需求得的目标,而 x,y 已知。(与裴蜀定理式子刚好反过来)。
由题可知:
当 a≥0,b≥0a \geq 0, b \geq 0a≥0,b≥0 时,可求得目标;
当 a<0a<0a<0 时,则需要进行以下操作:(延用上面的 A 壶,B 壶)
- 先往 B 壶装满水;
- 将 B 壶的水往 A 壶倒;
- 这个时候,如果 B 壶还有水,表示 A 壶满了。将 A 壶的水倒掉,将 B 壶剩余的水倒入 A 壶中。
重复上面的操作,直到对 A 壶进行 a 次清空,而对 B 壶进行 b 次倒水操作。
当 b<0b<0b<0 时,跟上面的情况类似,将对 A 壶和 B 壶的操作调换过来即可。
根据裴蜀定理, ax+by=zax+by=zax+by=z 有解,当且仅当 z 是 x,y 的最大公约数的倍数。所以我们只要找到 x,y 的最大公约数,然后判断 z 是否是这个最大公约数的倍数即可求得答案。
代码实现
class Solution:def canMeasureWater(self, x: int, y: int, z: int) -> bool: import mathif x + y < z:return Falseif x == 0 or y == 0:return z == 0 or x + y == zreturn z % math.gcd(x, y) == 0
实现结果
以上就是根据裴蜀定理,求最大公约数,判断是否有解来解决《水壶问题》的主要内容。
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