LeetCode —— 365. 水壶问题（Python3）

有两个容量分别为 x升和 y升的水壶以及无限多的水。请判断能否通过使用这两个水壶，从而可以得到恰好 z升的水？

如果可以，最后请用以上水壶中的一或两个来盛放取得的 z升水。

你允许：

装满任意一个水壶；
清空任意一个水壶；
从一个水壶向另外一个水壶倒水，直到装满或者倒空；

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来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/water-and-jug-problem
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思路及算法：

首先对题目进行建模。观察题目可知，在任意一个时刻，此问题的状态可以由两个数字决定：X 壶中的水量，以及 Y 壶中的水量。

在任意一个时刻，我们可以且仅可以采取以下几种操作：

把 X 壶的水灌进 Y 壶，直至灌满或倒空，要同时修改X壶和Y壶的状态；
把 Y 壶的水灌进 X 壶，直至灌满或倒空，要同时修改X壶和Y壶的状态；
把 X 壶灌满；
把 Y 壶灌满；
把 X 壶倒空；
把 Y 壶倒空。
因此，本题可以使用深度优先搜索来解决。搜索中的每一步以 remain_x, remain_y 作为状态，即表示 X 壶和 Y 壶中的水量。在每一步搜索时，我们会依次尝试所有的操作，递归地搜索下去。这可能会导致我们陷入无止境的递归，因此我们还需要使用一个哈希结合（HashSet）存储所有已经搜索过的 remain_x, remain_y 状态，保证每个状态至多只被搜索一次。

在实际的代码编写中，由于深度优先搜索导致的递归远远超过了 Python 的默认递归层数（可以使用 sys 库更改递归层数，但不推荐这么做），因此下面的代码使用栈来模拟递归，避免了真正使用递归而导致的问题。

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作者：LeetCode-Solution
链接：https://leetcode-cn.com/problems/water-and-jug-problem/solution/shui-hu-wen-ti-by-leetcode-solution/
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class Solution:def canMeasureWater(self, x: int, y: int, z: int) -> bool:stack = [(0, 0)]self.seen = set()while stack:remain_x, remain_y = stack.pop()if remain_x == z or remain_y == z or remain_x + remain_y == z:return Trueif (remain_x, remain_y) in self.seen:continue# 以下所有状态都可能为下一个状态，所以都需要进行存储self.seen.add((remain_x, remain_y))# 把 X 壶灌满。stack.append((x, remain_y))# 把 Y 壶灌满。stack.append((remain_x, y))# 把 X 壶倒空。stack.append((0, remain_y))# 把 Y 壶倒空。stack.append((remain_x, 0))# 把 X 壶的水灌进 Y 壶，直至灌满或倒空。# 把 X 壶的水灌进 Y 壶，则X壶有两种可能状态，如果 Y 壶放不下 X 壶中的所有水，则X壶中剩下的水为remain_x - (y - remain_y)# 如果 Y 壶能存放 X 壶中的所有水，则 X 壶为空；# 如果 Y 壶被装满，则 Y 壶的状态变为remain_y + y - remain_y = y；如果 Y 壶没有被装满，则 Y 壶的状态变为 remain_y + remain_xstack.append((remain_x - min(remain_x, y - remain_y), remain_y + min(remain_x, y - remain_y)))# 把 Y 壶的水灌进 X 壶，直至灌满或倒空。stack.append((remain_x + min(remain_y, x - remain_x), remain_y - min(remain_y, x - remain_x)))return False作者：LeetCode-Solution
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复杂度分析

时间复杂度：O(xy)O(xy)，状态数最多有 (x+1)(y+1)(x+1)(y+1) 种，对每一种状态进行深度优先搜索的时间复杂度为 O(1)O(1)，因此总时间复杂度为 O(xy)O(xy)。
空间复杂度：O(xy)O(xy)，由于状态数最多有 (x+1)(y+1)(x+1)(y+1) 种，哈希集合中最多会有 (x+1)(y+1)(x+1)(y+1) 项，因此空间复杂度为 O(xy)O(xy)。

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