MVG读书笔记——三维空间中的射影几何（二）

直线

通常三维空间中的直线可以由两点的连线或者两平面的相交线确定，但它的表示却比较麻烦。

三维空间中的直线有4个自由度。一个简单的解释是想象在两个正交平面上各取一个点，从而得到一条直线，这两个点各有两个自由度，因此合起来有4个自由度。

对于4个自由度的齐次表示一般需要5维向量，这样的表示方法将使得直线与平面和点（它们都是4维向量）的运算变得困难，为解决这一问题，数学家们发明了不同的表示方法。

零空间、生成空间表示法

设A、B为空间中的两点，过A、B的直线为L。定义

W=[A B]T

W=[A~B]^T
则：

W的行向量张成的空间构成了直线上的点集
W的零空间构成了以直线L为轴的平面的集合

由线性代数易证，简单解释就是齐次坐标下直线上的点可以表示为其上不重合的两点的线性组合。

同样的，设平面P、Q交于直线L，定义

W∗=[P Q]T

W^*=[P~Q]^T
则：

W的行向量张成的空间构成了以直线L为轴的平面的集合
W的零空间构成了直线上点的集合。

称它为前一种方法的对偶表示法。
由此可以得到两个推论：

矩阵M=[WT X]TM=[W^T~X]^T的零空间为直线与点确定的平面
M=[W∗T π]TM=[W^{*T}~\pi]^T的零空间为平面与直线的交点。

plucker矩阵表示

设A、B为L上的两点，则

L=ABT−BAT

L=AB^T-BA^T
L的秩为2，它的零空间是上文的 W∗W^*
可以看到，此种定义方法与前一种不同，对于L上任意两个点，总能得到相同的L。对它进行射影变换H得到的直线为 L′=HLHTL'=HLH^T

同样的可以定义它的对偶表示法
设平面P、Q相交于L，则

L∗=PQT−QPT

L^*=PQ^T-QP^T
对它进行射影变换有 L∗=H−TLH−1L^*=H^{-T}LH^{-1}
L∗L^*与L的系数有如下关系：

l12:l13:l14:l23:l42:l34=l∗34:l∗42:l∗23:l∗14:l∗13:l∗12

l_{12}:l_{13}:l_{14}:l_{23}:l_{42}:l_{34} = l_{34}^*:l^*_{42}:l^*_{23}:l^*_{14}:l_{13}^*:l_{12}^*

可以得到两个推论：

由点X和直线L定义的平面为π=L∗X\pi=L^*X，
由直线L和平面π\pi确定的点为x=Lπx=L\pi

plucker直线坐标

plucker直线坐标即上述反对称矩阵L的6个非零元素，即
L={l12,l13,l14,l23,l42,l34}\mathcal{L}=\{l_{12},l_{13},l_{14},l_{23},l_{42},l_{34}\}
这是一个6维的非齐次坐标，表示了IP5IP^5中的一个点。又因为det L =0,故

l12l34+l13l42+l14l23=0

l_{12}l_{34}+l_{13}l_{42}+l_{14}l_{23}=0
仅当6维向量 L\mathcal{L}满足上式时它才是一条直线。
它可以用来判断两条直线 L、L^\mathcal{L}、\mathcal{\hat{L}}是否共面，定义运算

(L|L^)=∑ijkllijl^kl,i,j,k,l∈1,2,3,4,i≠j≠k≠l

(\mathcal{L}|\mathcal{\hat{L}}) = \sum_{ijkl}l_{ij}\hat{l}_{kl},i,j,k,l \in {1,2,3,4},i\not=j\not=k\not=l
当且仅当 (L|L^)=0(\mathcal{L}|\mathcal{\hat{L}}) =0时，两直线共面。

二次曲面

二次曲面可以表示为

XTQX=0

X^TQX=0
Q为 4×44\times4对称矩阵。它有9个自由度。空间中9点确定一个曲面。当Q为奇异矩阵时，曲面发生退化。
二次曲面与平面 π\pi的交线为二次曲线 C=MTQMC=M^TQM
在射影变换下二次曲线满足 Q′=H−TQH−1Q'=H^{-T}QH^{-1}