MVG读书笔记——射影几何下的二次曲线

双曲线、椭圆、抛物线等统称为二次曲线（或圆锥曲线），它其实是三维空间中圆锥在截面上的投影，如图

齐次坐标下的二次曲线表示

二次曲线的在欧氏空间的方程为
ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0
即一个二次多项式。

使用齐次坐标表示为
ax12+bx1x2+cx22+dx1x3+ex2x3+fx32=0ax_1^2+bx_1x_2+cx_2^2+dx_1x_3+ex_2x_3+fx_3^2=0ax12+bx1x2+cx22+dx1x3+ex2x3+fx32=0
使用矩阵形式表示为xTCx=0x^TCx=0xTCx=0
其中C=[ab/2d/2b/2ce/2d/2e/2f]C=\begin{bmatrix}a&b/2&d/2\\b/2&c&e/2\\d/2&e/2&f\end{bmatrix}C=⎣⎡ab/2d/2b/2ce/2d/2e/2f⎦⎤
显然，一个二次曲线有5个自由度，5点确定一条二次曲线。

二次曲线的切线

二次曲线在其上一点x处的切线为l=Cxl=Cxl=Cx

极线

平面上任意一点和二次曲线可以定义一条直线l=Cxl=Cxl=Cx，这条直线称为x之于C的极线。x称为l之于C的极点。如图,

过x作C的切线刚好落在极线上。

极线上满足yTCx=0y^TCx=0yTCx=0的点y称为x之于C的共轭点。相应的，x也在y之于C的极线上。

退化

可以看到二次曲线的矩阵表示实际上是一个二次型，当C不是满秩的时候，二次曲线发生退化。此时二次曲线的形状可能为两条（秩为2）或一条直线（秩为1）

一个退化为两条直线的二次曲线方程为C=lmT+mlTC = lm^T+ml^TC=lmT+mlT。证明如下：

对l上的一点x，它满足xTCx=(xTl)(mTx)+(xTm)(lTx)=0x^TCx=(x^Tl)(m^Tx)+(x^Tm)(l^Tx)=0xTCx=(xTl)(mTx)+(xTm)(lTx)=0。故x在曲线C上。
##对偶二次曲线
之前讲到射影几何中点与直线具有对偶性。由此我们可以定义出二次曲线（或者叫点二次曲线）的对偶曲线，称为线二次曲线。正如点二次曲线是无数点的集合，线二次曲线是无数线的集合

我们还是可以用一个3×33\times 33×3的对称矩阵来C∗C^*C∗来表示它。C∗C^*C∗为C的伴随矩阵。与线二次曲线相切的直线满足lTC∗l=0l^TC^*l=0lTC∗l=0。在满秩的情况下有C∗=kC−1C^*=kC^{-1}C∗=kC−1

线二次曲线可以很简单的由点二次曲线推导出来。由上面所说，点二次曲线C在x处点切线为l=Cx。相反的，我们可以得到C与直线l相切于x=C−1lx=C^{-1}lx=C−1l。于是由xTCx=0x^TCx=0xTCx=0我们得到(C−1l)TC(C−1l)=lTC−1l=0(C^{-1}l)^TC(C^{-1}l)=l^TC^{-1}l=0(C−1l)TC(C−1l)=lTC−1l=0。即线二次曲线的方程。

如图为一个对偶二次曲线的直观表示。它包住了点圆锥曲线所在的区域。

在退化情况下，一个对偶二次曲线可以由两点确定，即
C∗=xyT+yxTC^*=xy^T+yx^TC∗=xyT+yxT