矩阵分析引论: 第三章---矩阵的标准型
第三章: 矩阵的标准型
矩阵的相似对角形
n阶矩阵A能够相似于对角形矩阵 的充要条件 是什么?
若矩阵A能与对角形矩阵相似, 那么 该对角形矩阵的 对角线元素 是A的n个特征值
而且 可逆矩阵p的列向量 就是 对应于这些特征值的 n 个线性无关的特征向量
特征值和特征向量的关系:
- 属于不同特征值的特征向量一定线性无关
- 同一个特征值(多重特征值)的特征向量会有多个
- 所有的特征值对应的特征向量的个数之和 等于可逆矩阵p的阶数 == p的阶数也是n, 特征值的总个数也是n, 这样才会一一对应.
那么这里需要注意的是 如何求特征值和特征向量 ? 相似矩阵有相同的特征多项式, 从而有相同的特征值
需要注意的几个名词:
特征值, 特征向量
特征矩阵 特征多项式
矩阵的迹
特征子空间: 矩阵A的 某一个特征值 对应的特征向量的集合, 构成一个线性空间, 称为A的特征子空间(相同特征值对应的特征向量集合), 特征子空间的维数不超过特征值的重数
当线性变换T 有n个线性无关的特征向量时, 只要选取这一组向量为一个基, 则显然T在这个基下的矩阵就是对角形矩阵 线性变换 等价于 矩阵
反过来, 若T在某个基 下的矩阵是对角形矩阵, 从而有 T * 基中的第i个向量 = 相对应的特征值 * 该向量, 因此 基内各个向量是线性无关的特征向量.
实对称矩阵都相似与对角形矩阵
但是并非所有的矩阵A都可以相似与对角形矩阵, 那么当矩阵A不能和对角形矩阵相似时, 我们能否找到一个构造比较简单的分块对角矩阵与他们相似呢? 在复数域C内考虑这个问题时, 这个矩阵确实存在, 这个就是约当形矩阵, 称为矩阵A 的约当标准形
实对称矩阵: 矩阵元素都是实数
实矩阵: 实矩阵指的是矩阵中所有的数都是实数的矩阵。如果一个矩阵中含有除实数以外的数，那么这个矩阵就不是实矩阵
复数矩阵
复数包括实数和虚数，虚数包括纯虚数和非纯虚数；实数包括有理数和无理数，有理数又包括整数和分数。所以实数集是复数集的子集合。
矩阵的约当标准形
- 多项式整除的概念
- 首项系数为1( 最高次的那一项的系数为1 )的最大公因式( f(x), g(x) )
在C复数域上求若干个多项式的最大公因式时, 先把每个多项式分解成一次因式的乘积形式, 然后取公共一次因式的最低方幂的乘积, 即为所求的最大公因式.
互素 / 互质:
若 ( f(x), g(x) ) = 1, 则称 f(x) 和 g(x) 互素 / 互质,
关于多项式的最大公因式和互素有下列两个重要的结果:
设矩阵A中的各个元素的值是属于复数域中的, 那么矩阵A的特征矩阵是 A(m) = mE - A
, g(x) ) = 1, 则称 f(x) 和 g(x) 互素 / 互质,
互质性
既约性
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