《矩阵论》学习笔记(三):第三章 矩阵分析及其应用
《矩阵论》学习笔记(三):第三章 矩阵分析及其应用
本章讲述矩阵分析的理论,其基础是高等数学分析。所有的定义、性质都是从从高等数学分析中引申出来的。
文章目录
- 《矩阵论》学习笔记(三):第三章 矩阵分析及其应用
- 一、矩阵序列
- 1.1 什么是矩阵序列
- 1.2 矩阵序列的收敛
- 1.3 矩阵序列的有界
- 1.4 收敛矩阵的定义与性质
- 二、矩阵级数
- 2.1 什么是矩阵级数
- 2.2 矩阵级数的收敛性
- 2.3 矩阵级数的绝对收敛
- 2.4 幂级数
- 三、矩阵函数
- 3.1 矩阵函数的定义
- 3.2 常见的矩阵函数与性质
- 3.3 矩阵函数值的求法
- 3.3.1 待定系数法
- 3.3.2 数项级数求和法
- 3.3.3 对角形法
- 3.3.4 Jordan标准形法
- 3.4 矩阵函数的另一种定义
- 四、矩阵的微分与积分
- 4.1 什么是函数矩阵?
- 4.2 函数矩阵的导数与积分
- 4.3 函数对矩阵的导数
- 4.4 函数矩阵对矩阵的导数
- 五、矩阵函数的一些应用
- 1、一阶线性常系数齐次微分方程
- 2、一阶线性常系数非齐次微分方程
一、矩阵序列
1.1 什么是矩阵序列
1-矩阵序列提出的原因:
矩阵序列是对数列的推广。2-矩阵序列的研究重点?
研究重点:常常研究的是矩阵序列的收敛问题。
解决方式:借助矩阵范数,将矩阵序列的收敛性问题→\to→正项数列的收敛性问题。3-什么是矩阵序列?
1.2 矩阵序列的收敛
1-矩阵序列收敛/发散的定义
[矩阵序列的收敛等价于多个数列收敛]2-矩阵序列收敛的性质:
满足加法/乘法/逆的性质。3-矩阵序列收敛的判断:
思路:借助矩阵范数,将矩阵序列的收敛性问题→\to→正项数列的收敛性问题。
设A∈Cm∗nA∈C^{m*n}A∈Cm∗n,则有:
- A(k)→OA^{(k)} \to OA(k)→O的充要条件是:∣∣A(k)∣∣→0||A^{(k)}|| \to 0∣∣A(k)∣∣→0.
- A(k)→AA^{(k)} \to AA(k)→A的充要条件是:∣∣A(k)−A∣∣→0||A^{(k)}-A|| \to 0∣∣A(k)−A∣∣→0.
1.3 矩阵序列的有界
1.4 收敛矩阵的定义与性质
- 1-什么是收敛矩阵?
[前提A是方阵n*n] - 2-收敛矩阵的判断:
- A为收敛矩阵的充要条件:ρ(A)<1\rho(A)<1ρ(A)<1.
- A为收敛矩阵的充分条件:只要存在一种矩阵范数||.||,使得∣∣A∣∣<1||A||<1∣∣A∣∣<1.
[根据矩阵谱半径的性质推出]
二、矩阵级数
2.1 什么是矩阵级数
1-矩阵级数提出的原因:
矩阵级数是对常数项级数概念的推广。
数学分析中的级数(幂级数)理论占有很重要的位置。所以要讨论矩阵级数。2-矩阵级数的研究重点?
研究重点:矩阵级数的收敛问题、幂级数。
解决方式:借助矩阵范数,将矩阵级数的绝对收敛性问题→\to→正项级数的收敛性问题。3-什么是矩阵级数?
∑k=0无穷A(k)\sum_{k=0}^{无穷}A^{(k)}∑k=0无穷A(k):矩阵序列形成的无穷项和。
2.2 矩阵级数的收敛性
1-矩阵级数的部分和 S(k)S^{(k)}S(k)
2-什么是矩阵级数的收敛?
[矩阵级数的收敛等价于多个常数项级数收敛]
2.3 矩阵级数的绝对收敛
- 1-什么是矩阵级数的绝对收敛?
[矩阵级数的绝对收敛等价于多个常数项级数绝对收敛] - 2-矩阵级数绝对收敛的性质
∑k=0无穷A(k)\sum_{k=0}^{无穷}A^{(k)}∑k=0无穷A(k) | 矩阵级数绝对收敛的性质 |
---|---|
性质1 | 绝对收敛级数的更序级数绝对收敛. |
性质2 | 矩阵级数绝对收敛的充要条件:正项级数收敛. |
性质3 | 矩阵级数收敛/绝对收敛,其则矩阵∑PA(k)Q\sum PA^{(k)}Q∑PA(k)Q也收敛/绝对收敛. |
性质4 | 两矩阵级数绝对收敛,其按项相乘矩阵也绝对收敛. |
2.4 幂级数
1-什么是矩阵的幂级数?
[矩阵是方阵]2-幂级数与矩阵幂级数的关系:
已知幂级数的收敛半径r,则:
若方阵A满足ρ(A)<r\rho(A)<rρ(A)<r,则矩阵幂级数收敛;
若方阵A满足ρ(A)>r\rho(A)>rρ(A)>r,则矩阵幂级数发散;
若方阵A满足ρ(A)=r\rho(A)=rρ(A)=r,矩阵幂级数收敛性不确定.
- 3-矩阵幂级数收敛的判断:
- 方阵A的幂级数收敛的充要条件:
A为收敛矩阵,且收敛时,其和为(I−A)−1(I-A)^{-1}(I−A)−1.
[A为收敛矩阵,则要满足ρ(A)<1\rho(A)<1ρ(A)<1].- 借助ρ(A)与r、ρ(A)与范数∣∣A∣∣\rho(A)与r、\rho(A)与范数||A||ρ(A)与r、ρ(A)与范数∣∣A∣∣的关系判断,ρ(A)<r、ρ(A)<∣∣A∣∣\rho(A)<r、\rho(A)<||A||ρ(A)<r、ρ(A)<∣∣A∣∣.
[方阵幂级数的绝对收敛转换为复变量幂级数的绝对收敛].
三、矩阵函数
3.1 矩阵函数的定义
- 1-矩阵函数提出的原因:
矩阵函数是对一元函数概念的推广。
矩阵函数以矩阵为自变量且取值也是矩阵的一类函数。
矩阵函数的基础是矩阵序列和矩阵级数。 - 2-矩阵函数的定义?
矩阵函数是由一个收敛的矩阵幂级数的和定义的。
矩阵函数存在的条件:
1)A是方阵;
2)是矩阵幂级数的和;
3)ρ(A)<r\rho(A)<rρ(A)<r.
3.2 常见的矩阵函数与性质
- 常见的矩阵函数:
复平面 Cn∗nC^{n*n}Cn∗n | 矩阵幂级数 A∈Cn∗nA∈C^{n*n}A∈Cn∗n |
---|---|
指数函数 eze^zez | 矩阵指数函数 eAe^AeA |
三角函数 coszcoszcosz | 矩阵三角函数 cosAcosAcosA |
三角函数 sinzsinzsinz | 矩阵三角函数 sinAsinAsinA |
- 常见矩阵函数的运算性质
- 指数运算:
eAeB≠eBeA≠eA+Be^Ae^B≠e^Be^A≠e^{A+B}eAeB=eBeA=eA+B.
而是:若AB=BAAB=BAAB=BA,则eAeB=eBeA=eA+Be^Ae^B=e^Be^A=e^{A+B}eAeB=eBeA=eA+B.
->eAe−A=e−AeA=eIe^Ae^{-A}=e^{-A}e^A=e^IeAe−A=e−AeA=eI
->(eA)−1=e−A(e^A)^{-1}=e^{-A}(eA)−1=e−A - 三角函数运算:
若AB=BAAB=BAAB=BA,则:
cos(A+B)=cosAcosB−sinAsinBcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A+B)=cosAcosB−sinAsinB
cos2A=cos2A−sin2Acos2A=cos^2A-sin^2Acos2A=cos2A−sin2A
sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosAsin(A+B)=sinAcosB+sinBcosAsin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA
sin2A=2sinAcosAsin2A=2sinAcosAsin2A=2sinAcosA
3.3 矩阵函数值的求法
3.3.1 待定系数法
待定系数法求解步骤: | |
---|---|
1. 将矩阵A的特征多项式表达成特征值的因式 | φ(λ)=det(λI−A)=∏i=1s(λ−xi)ri\varphi(\lambda)=det(\lambda I-A)=\prod_{i=1}^s(\lambda-x_i)^{ri}φ(λ)=det(λI−A)=∏i=1s(λ−xi)ri |
2. 写出首1多项式.ψ(λ)\psi(\lambda)ψ(λ) |
满足: 1)ψ(λ)=O\psi(\lambda)=Oψ(λ)=O; 2)ψ(λ)\psi(\lambda)ψ(λ)可以整除φ(λ).\varphi(\lambda).φ(λ). |
3. 用首1多项式表示函数f(z)f(z)f(z) | f(z)=ψ(λ)g(z)+r(z)f(z)=\psi(\lambda)g(z)+r(z)f(z)=ψ(λ)g(z)+r(z) |
4. 计算r(z)→r(A)r(z) \to r(A)r(z)→r(A) | f(A)=r(A)f(A)=r(A)f(A)=r(A) |
3.3.2 数项级数求和法
3.3.3 对角形法
当A相似于一个对角矩阵B时,可以将矩阵幂级数求和问题转化成求其相似变换矩阵的问题。
A=PBP−1A=PBP^{-1}A=PBP−1,A2=PB2P−1A^2=PB^2P^{-1}A2=PB2P−1
f(A)=∑k=0无穷ckAk=P[...]P−1f(A)=\sum_{k=0}^{无穷}c_kA^k=P[...]P^{-1}f(A)=∑k=0无穷ckAk=P[...]P−1
注意:这里的P矩阵不唯一,但结果却总是相同的。
3.3.4 Jordan标准形法
矩阵幂级数求和问题可以转化成求矩阵的Jordan标准形及相似变换矩阵的问题。
3.4 矩阵函数的另一种定义
- 1-矩阵函数另一种定义提出的原因:
3.1中对矩阵的定义限制必须能够写成矩阵幂级数f(A)=∑ckAf(A)=\sum c_kAf(A)=∑ckA的形式。
而对于任意的函数,不一定能展开成幂级数的形式。所以需要拓宽矩阵函数的定义。 - 2-矩阵函数的定义?
任意矩阵都相似于一个Jordan标准形矩阵。用Jordan标准形矩阵来定义矩阵函数f(A)f(A)f(A).
要求:函数f(z)f(z)f(z)在λi\lambda_iλi处具有mi−1m_i-1mi−1阶的导数。
四、矩阵的微分与积分
4.1 什么是函数矩阵?
对A(t)=(aij(t))m∗nA(t)=(a_{ij}(t))_{m*n}A(t)=(aij(t))m∗n,
其中,矩阵A中每个元素aij(t)a_{ij}(t)aij(t)都是t的函数,这样的矩阵称作函数矩阵。
4.2 函数矩阵的导数与积分
函数矩阵的导数:
矩阵函数的导数值等于对矩阵中每个元素求导得到的矩阵。函数矩阵的积分:
矩阵函数的积分值等于对矩阵中每个元素积分得到的矩阵。
定义 | 解释 |
---|---|
矩阵函数 | 首先是一种函数,特殊之处在于:函数的自变量是矩阵,因变量也是矩阵 |
函数矩阵 | 首先是一种矩阵,特殊之处在于:矩阵中每一元素都关于自变量t的函数aij(t)a_{ij}(t)aij(t) |
4.3 函数对矩阵的导数
4.4 函数矩阵对矩阵的导数
函数矩阵的导数 -定义 | 解释 |
---|---|
函数对矩阵的导数 | 首先有一个矩阵X,再有一个mn元的函数f(X)f(X)f(X),其特点是:自变量是X中每一元素。求的是 f(X)dX\frac{f(X)}{dX}dXf(X)。 |
函数矩阵对矩阵的导数 | 首先有一个函数矩阵F(X),其特点是:每一元素都是一种函数f(X)ijf(X)_{ij}f(X)ij。其中,f(X)ijdX\frac{f(X)_{ij}}{dX}dXf(X)ij即是上面“函数对矩阵的导数” |
五、矩阵函数的一些应用
1、一阶线性常系数齐次微分方程
2、一阶线性常系数非齐次微分方程
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