线性代数:第三章 矩阵的初等变换与线性方程组(2)线性方程组的解 初等方阵
第三节 线性方程组的解
一. 数学概念
根据矩阵的乘法,可以将线性方程组写成矩阵形式。
1. n元齐次线性方程组 ;
2. n元非齐次线性方程组 ;
3. 称A为方程组的系数矩阵,B=(A,b)为非齐次线性方程组的增广矩阵。
二.原理、公式和法则
定理3.1 n元齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件的系数矩阵A的秩
R(A)<n。
定理3.2 n元非齐次线性方程组 有解的充分必要条件的系数矩阵A的秩等于增广矩阵B=(A,b)的秩。
显然定理3.1是判断齐次线性方程组有什么样解的问题,而定理3.2是用来判断非齐次线性方程组有没有解的问题。
三. 重点、难点分析
本节的重点是会用定理3.1、3.2判定齐次线性方程组有怎样解和非齐次线性方程组有没有解。难点的如何求出方程组的解和怎样深刻理解定理3.1、3.2的证明。定理的证明虽然简单明了,但用前面已学过的许多知识,并且方法独特,不易掌握和理解。
四. 典型例题
例1 求解齐次线性方程组
解:对系数矩阵A施行初等行变换为行最简形矩阵:
即得与方程组同解的方程组
由此即得
令 ,把它写成通常的参数形式
其中 为任意实数,或写成向量形式
例2. 设有线性方程组
问 取何值时,此方程组(1)有唯一解;(2)无解;(3)有无限多个解?并在有无限多解时求其通解。
解:对增广矩阵B=(A,b)作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵,有
当 时,R(A)= R(B)=3,方程组有唯一解;
当 时,R(A)=1, R(B)=2,方程组无解;
当 时,R(A)= R(B)=2,方程组有无限多个解,
当 时,
由此便得通解
即
通过上面的实例,我们可知对于齐次线性方程组,只须把它的系数矩阵化为行最简形矩阵,找出与原方程组等价的线性方程组,便能写出通解。对于非齐次线性方程组,只须把它 增广矩阵化成行列阶梯矩阵,便能根据定理3.2判断它是否有解;在有解时,把增广矩阵进一步化成最简形矩阵,从而写出它的通解。
第四节 初等方阵
一. 数学概念
定义4.1 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵。
1. 对调单位矩阵的两行(列),得E[i,j];
2. 以数 乘某行或某列,得E[i(k)] ;
3. 以数k乘某行(列)加到另一行(列)上去,得E[i,j(k)].
4. 初等方阵均为可逆的方阵,其逆仍是同种的初等方阵。
二. 原理公式和法则
定理4.1 设A是一个 矩阵对A施行一次初等行变换,相当于在A是左边乘以相应的m阶初等矩阵;对A施行一次初等列变换,相当于在A右边乘以相应的n阶初等方阵。
定理4.2 设A为可逆矩阵,则存在有限个初等矩阵 。
推论 矩阵A~B的充分必要条件是:存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q使PAQ=B。
求逆公式
求 的公式
三. 重点、难点分析
本节的重点是用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵。难点是用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵的方法与技巧,以上面公式的推导。
四. 典型例题
例1设
。
解:
。
利用初等行变换求可逆矩阵的方法,还可用于求矩阵 。由
可知,若对(A|B)施行初等行变换,当把A变成E时,B就变成 。
例2. 求矩阵X,使AX=B,其中
解:若A可逆,则 .
因此
。
本例用初等行变换的方法求得 ,如果要求 ,则可对矩阵 作初等列变换,使
,
即可得 。不过通常都习惯作初等行变换,那末可改为对 作初等行变换,使
,
即可得 ,从而求得Y。
第四节 初等方阵
一. 数学概念
定义4.1 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵。
1. 对调单位矩阵的两行(列),得E[i,j];
2. 以数 乘某行或某列,得E[i(k)] ;
3. 以数k乘某行(列)加到另一行(列)上去,得E[i,j(k)].
4. 初等方阵均为可逆的方阵,其逆仍是同种的初等方阵。
二. 原理公式和法则
定理4.1 设A是一个 矩阵对A施行一次初等行变换,相当于在A是左边乘以相应的m阶初等矩阵;对A施行一次初等列变换,相当于在A右边乘以相应的n阶初等方阵。
定理4.2 设A为可逆矩阵,则存在有限个初等矩阵 。
推论 矩阵A~B的充分必要条件是:存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q使PAQ=B。
求逆公式
求 的公式
三. 重点、难点分析
本节的重点是用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵。难点是用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵的方法与技巧,以上面公式的推导。
四. 典型例题
例1设
。
解:
。
利用初等行变换求可逆矩阵的方法,还可用于求矩阵 。由
可知,若对(A|B)施行初等行变换,当把A变成E时,B就变成 。
例2. 求矩阵X,使AX=B,其中
解:若A可逆,则 .
因此
。
本例用初等行变换的方法求得 ,如果要求 ,则可对矩阵 作初等列变换,使
,
即可得 。不过通常都习惯作初等行变换,那末可改为对 作初等行变换,使
,
即可得 ,从而求得Y。
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