第三章矩阵的初等变换与线性方程组概念详解

矩阵的初等变换

一.初等变换和初等矩阵及其联系

设A=(aij)m*n，则以下三种变换称为矩阵A的初等行(列)变换

1.交换A的两行(列)

2.用一个非零常数k乘以A的某一行(列)

3.用一个数乘以A的某一行(列)的各元素后再加到A的另一行(列)对应的元素上去

矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换

二.等价

如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与B等价，记作A≌B

矩阵之间的等价关系具有下列性质：
1.反身性 A≌A

2.对称性若A≌B，则B≌A

3.传递性若A≌B，B≌C，则A≌C

三.利用初等变换形成的特殊矩阵

1.行阶梯形矩阵

矩阵的所有元素全为0的行(如果存在的话)都集中在矩阵的最下面

每行左起第一个非零元素的下方元素全为0

即可以在该矩阵中画出一条阶梯线，线的下方全为0，每个阶梯只有一行，阶梯数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素即为首非零元

2.行最简形矩阵

非零行首非零元为1，且这些首非零元所在列的其他元素为0

3.等价标准形矩阵

左上角是一个单位矩阵，其余元素全为0

四.初等矩阵

1.类型

对单位矩阵E施行一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，初等矩阵包括以下三种类型

1.将单位矩阵i，j两行(列)对换得到的矩阵，记作E(i,j)

2.以数k!=0乘单位矩阵E的第i行(列)得到的矩阵，记作E(i(k))

3.将单位矩阵E第j行的k倍加到第i行(或第i列的k倍加到第j列)得到的矩阵称为初等消去矩阵，记作E(i,j(k))

2.性质

初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵

初等矩阵均为可逆矩阵，并且其逆矩阵仍为同类型的初等矩阵

3.初等变换与初等矩阵之间的关系

以m阶初等矩阵E(i,j)左乘矩阵Am*n，其结果是互换A的i，j两行

以n阶初等矩阵E(i,j)右乘矩阵Am*n，其结果是互换A的i，j两列

以m阶初等矩阵E(i(k))左乘Am*n，其结果就是将A的第i行乘以数k

以n阶初等矩阵E(i(k))右乘Am*n，其结果就是将A的第i列乘以数k

以m阶初等矩阵E(i,j(k))左乘Am*n，其结果就是将A的第j行的乘以数k加到第i行

以n阶初等矩阵E(i,j(k))右乘Am*n，其结果就是将A的第i列的乘以数k加到第j列

定理：

用初等矩阵左乘A，相当于对A施行相应的初等行变换，用初等矩阵右乘A，相当于对A施行相应的初等列变换

注意：

左乘初等矩阵E(i,j(k))时变化A的第i行，右乘初等矩阵E(i,j(k))时变化A的第j行

五.初等变换的应用

1.求逆矩阵

若方阵A可逆，A可以经过有限次的初等行变换(初等列变换)化为单位矩阵E，即A≌E

可逆矩阵可表示为有限个初等矩阵的乘积

2.用初等变换法解矩阵方程

设矩阵A可逆，则求解矩阵方程AX=B等价于求矩阵X=A-1B，为此，可采用类似初等变换求逆矩阵的方法，构造一个矩阵(A|B)，对其施以初等行变换，左一半矩阵A化为单位矩阵E，则这时右一半单位矩阵B就化为A-1B了

如下图所示：

六.几个关于初等变换和初等矩阵的推广

七.习题

题型一：化矩阵为最简形或阶梯形矩阵

思路：化标准形往往采用行变换和列变换相结合的方法

求矩阵的行(列)最简形矩阵时，我们只能对矩阵进行初等行(列)变换，不能进行初等列(行)变换

题型二：利用初等变换求已知矩阵的逆矩阵

思路：

1.定义法：找出一个矩阵B使BA=E或AB=E，则B=A-1

2.伴随矩阵法：A-1=A*/|A|

3.初等变换法：

4.分块矩阵法：

题型三：求解矩阵方程

题型四：关于矩阵等价的问题

设n阶矩阵A与B等价，则必有当|A|=0时，|B|=0

解析：
由A与B等价可知存在n阶可逆矩阵P，Q，使B=PAQ，从而有|B|=|P||A||Q|，由|P|!=0，|Q|!=0可知，|A|和|B|同时为0或同时不为0

设A，B为n阶可逆矩阵，则存在可逆矩阵P和Q，使PAQ=B

解析：

因为A，B为n阶可逆矩阵，故A与En等价，B与En等价，根据等价的传递性可知A与B等价，由等价的定义知存在可逆矩阵P和Q，使PAQ=B

矩阵等价的相关结论：

1.A~(r)B的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P，使PA=B

2.A~(c)B的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵Q，使AQ=B

3.设A，B均为m*n矩阵，A与B等价的充要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使PAQ=B

4.方阵A可逆的充分必要条件是A与E等价

题型五：关于初等矩阵与初等变换的对应关系

设A为n(n>=2)阶可逆矩阵，交换A的第一行与第二行得矩阵B，若A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，则交换A*的第一列与第二列得-B*

解析：
方法一：用特殊值法

假设A是3阶矩阵进行讨论

设交换A的第一行和第二行的初等矩阵为E

则EA=B，所以B=A-1E-1=A-1E，B*/|B|=A*/|A|E

又因为B是由A交换了第一行和第二行得来的，所以|A|=-|B|

因此有A*E=-B*

方法二：利用初等变换与初等矩阵的对应关系将问题转化为矩阵运算的问题
设交换A的第一行和第二行的初等矩阵为P

则B=PA，所以B*=|B|B-1=|PA|(PA)-1=-|A|A-1P-1=-A*P

因此有A*P=-B*

即交换A*的第一列和第二列得-B*

对矩阵（A|E）施行若干次初等变换，当A变成E时，相对应的E变为A-1，这句话是错误的，当强调对该矩阵只施行初等行变换的时候才是正确的

题型六：分块矩阵的初等变换与初等矩阵问题

设有一二阶分块矩阵，其中A，D分别是m阶和n阶可逆矩阵，B是m*n矩阵，C是n*m矩阵

1.证明：T可逆的充分必要条件是D-CA-1B可逆

2.当T可逆时求其可逆矩阵

思路：初等变换与初等矩阵的对应关系对分块矩阵仍成立

解答一时可以从结论出发找到两个矩阵M，N，使MTN成为分块对角阵，然后再取行列式证明结论

解答二时利用一中的式子来求矩阵T的逆矩阵

矩阵的秩

一.矩阵秩的相关概念

k阶子式

m*n阶矩阵中，任取k行k列，则其交叉处的k^2个元素按原顺序组成一个k*k阶矩阵，其行列式称为k阶子式

矩阵的秩

在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式全等于0，则D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记为R(A)

1.零矩阵的秩为0

2.若矩阵A的所有k阶子式均为零，则R(A)<k

若存在A的某一k阶子式不等于零，则R(A)>k

若A为m*n矩阵，当R(A)=m时，称A为行满秩矩阵，当R(A)=n时，称A为列满秩矩阵

若A为n阶矩阵，且R(A)=n，则称A为满秩矩阵，它既是行满秩的又是列满秩的

方阵为满秩矩阵的充分必要条件是|A|!=0，方阵A可逆的充分必要条件是A为满秩矩阵

二.矩阵秩的性质

三.习题

题型一：求矩阵的秩

求矩阵的秩通常有以下几种方法：
1.利用定义，直接计算子式

2.利用初等变换法

3.利用矩阵秩的性质转化为求另外一个矩阵的秩

4.利用矩阵秩的不等式

5.转化为矩阵的行向量组或列向量组的秩

若遇到证明等式成立的问题，我们可以先证明>=，再证明<=

题型二：已知矩阵的秩求矩阵中的参数

先根据R(A)<n=|A|=0解除a，然后对a的各种不同取值进行讨论

题型三：矩阵的秩常用结论的证明及应用

任意秩为r的矩阵A，总存在可逆阵P，Q使

秩为1的矩阵可表示成r个秩为1的矩阵的和

证明：

设矩阵A的秩是r。则有非奇异矩阵P，Q，使

其中R(Ai)(i=1,2,...,r)=1(Ai为第i行第i列位置的元素为1，其余元素全是0的矩阵)

由上可得

由于任何矩阵乘满秩方阵后秩不改变，故R(P-1AiQ-1)=R(Ai)=1

即A可表示成r个秩为1的矩阵的和

矩阵标准形中1的个数等于矩阵的秩

线性方程组的解

一.线性方程组的概念

一般地，一个线性方程组可以写成下述形式

aij称为方程组的系数，xi称为这个方程组的未知量，bi称为方程组的常数项，这是一个含有n个未知量，m个方程构成的线性方程组

将线性方程组分为两类，常数项不全为0的方程组称为非齐次线性方程组

如果将线性方程组的常数项全部改为0，得到齐次线性方程组

称上式为非齐次相应的齐次线性方程组，或非齐次导出的组

如果令

则非齐次方程可以写成

则线性方程组可以写成矩阵方程的形式

AX=b

称A为这个方程组的系数矩阵，称(A,b)是这个方程组的增广矩阵

如果分别有x的解使得方程组中的每一个方程都成立，则这n个数，即x的解cn是方程组的解，或者说

是原方程的解(或解向量)

如果线性方程组有解，就称方程组的相容的，否则，就称方程组是不相容的

一个线性方程组的解的全体构成的合集称为是这个线性方程组的解集合，两个具有相同解集合的线性方程组称为是同解的

表示线性方程组的全部解的表达式称为线性方程组的通解

二.高斯消元法

用消元法解线性方程组的过程，实质上就是对该方程组的增广矩阵施以行初等变换的过程，只写出方程组的增广矩阵的初等行变换变换过程即可

三.n元线性方程组Ax=b的解的判定

根据系数矩阵A和增广矩阵B=(A,b)的秩，可以方便的讨论线性方程组是否有解(是否相容)以及有解时是否唯一等问题，解的各种情况可以总结出以下定理：
设有n元线性方程组AX=b

1.无解的充分必要条件是R(A)<R(A,b)

2.有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n

3.有无限多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)<n

四.n元线性方程组Ax=b的解法
1.对于非齐次线性方程组，把它的增广矩阵B=(A|b)化为行阶梯形，从B的行阶梯形可同时看出R(A)和R(B)，若R(A)<R(B)，则方程组无解

2.若R(A)=R(B)，则进一步把B化成行最简形，而对于齐次线性方程组，则把系数矩阵A化成行最简形

3.设R(A)=R(B)=r，把行最简式中r个非零行的非零首元所对应的未知数取作非自由未知数，其余n-r个未知数取作自由未知数，并令自由未知数分别等于c1,c2,...,cn-r,由B(A)的行最简形，即可求出含有n-r个参数的通解

五.习题

题型一：有关线性方程组的解的判定

注意Ax=0有无穷多解==R(A)<n

若是求常数，先通过方程组解的信息，推导出R(A)与R(A,b)的关系，再结合阶梯形矩阵的形式与秩的关系导出所需满足的关系式

题型二：解线性方程组

当A可逆时，Ax=b的解为x=A-1b

对于含有多个参变量的方程组，一定要注意讨论各种情况

题型三：有关线性方程组的证明

求同解问题，往往是先任取其中一个的解，看是否适合另一个方程组，反之

要掌握线性方程组解的情况与系数矩阵的秩以及矩阵的秩同矩阵子式的行列式的关系

本章知识总结

1.关于初等变换

初等变换分为三种，是一切矩阵化简的基础，包括求矩阵的逆、线性方程组的解的判定和求法，其中的方法包括初等行变换法，初等列变换法，行列共变法，一般使用行变换

2.关于初等矩阵

初等矩阵与初等变换都是一一对应的，每一种变换都相当于左(右)乘一个初等矩阵

3.关于矩阵的秩

求矩阵的秩通常有以下几种方法

定义法

初等变换法

利用性质转化法

利用秩的不等式求解法

转化为向量的秩的方法

4.关于线性方程组

对于线性方程组，给出了解的判定的三种情况以及如何使用未知量来解一个线性方程组

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