高等数学(预备知识之两角和差、二倍角与半角公式)
目录
- 一.两角和与差
- 二. 二倍角公式
- 三. 半角公式
- 四. 辅助角公式
- 五. 三角函数模型
一.两角和与差
| cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\betacos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ | cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\betacos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ |
|---|---|
| sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\betasin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ | sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\betasin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ |
| tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}tan(α−β)=1+tanαtanβtanα−tanβ | tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}tan(α+β)=1−tanαtanβtanα+tanβ |
例题1:
cos15°\cos15°cos15° = cos(45°−30°)\cos(45°-30°)cos(45°−30°) = cos45°cos30°+sin45°sin30°\cos45°\cos30°+\sin45°\sin30°cos45°cos30°+sin45°sin30° = 2232+2212\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2}2223+2221 = 6+24\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}46+2
cos15°\cos15°cos15° = sin75°\sin75°sin75° = 6+24\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}46+2
sin15°\sin15°sin15° = cos75°\cos75°cos75° = 6−24\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}46−2
\quad
\quad
例题2: 已知sinα=45\sin\alpha=\frac{4}{5}sinα=54, α∈\alpha\inα∈ (π2\frac{π}{2}2π, π), cosβ=−513\cos\beta=-\frac{5}{13}cosβ=−135, β\betaβ是第三象限角, 求cos(α−β)\cos(\alpha-\beta)cos(α−β)的值
解:
cosα=±1−sin2α\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}cosα=±1−sin2α = ±35\pm\frac{3}{5}±53
∵\because∵ α∈\alpha\inα∈ (π2\frac{π}{2}2π, π) 属于第二象限角
∴\therefore∴ cosα\cos\alphacosα = −35-\frac{3}{5}−53
sinβ=±1−cos2β\sin\beta=\pm\sqrt{1-\cos^2\beta}sinβ=±1−cos2β = ±\pm±1213\frac{12}{13}1312
∵\because∵ β\betaβ是第三象限角
∴\therefore∴ sinβ=−1213\sin\beta=-\frac{12}{13}sinβ=−1312
cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\betacos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ = −3365-\frac{33}{65}−6533
\quad
\quad
例题3: 求解sin20°cos10°−cos160°sin10°\sin20°\cos10°-\cos160°\sin10°sin20°cos10°−cos160°sin10°
=> sin20°cos10°−cos(π−20°)sin10°\sin20°\cos10°-\cos(π-20°)\sin10°sin20°cos10°−cos(π−20°)sin10°
=>sin20°cos10°+cos20°sin10°\sin20°\cos10°+\cos20°\sin10°sin20°cos10°+cos20°sin10°
=>sin30°\sin30°sin30°
=>12\frac{1}{2}21
\quad
\quad
例题4: 已知sinα=−35\sin\alpha=-\frac{3}{5}sinα=−53, α\alphaα是第四象限角, 求sin(π4−α),cos(π4+α),tan(α−π4)\sin(\frac{π}{4}-\alpha),\cos(\frac{π}{4}+\alpha),\tan(\alpha-\frac{π}{4})sin(4π−α),cos(4π+α),tan(α−4π)的值
解:
cosα=±1−sin2α\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}cosα=±1−sin2α = ±45\pm\frac{4}{5}±54
tanα\tan\alphatanα = ±34\pm\frac{3}{4}±43
∵\because∵ α\alphaα是第四象限角
∴\therefore∴ tanα\tan\alphatanα = −34-\frac{3}{4}−43, cosα\cos\alphacosα = 45\frac{4}{5}54
sin(π4−α)\sin(\frac{π}{4}-\alpha)sin(4π−α) = sinπ4cosα−cosπ4sinα\sin\frac{π}{4}\cos\alpha-\cos\frac{π}{4}\sin\alphasin4πcosα−cos4πsinα = 7210\frac{7\sqrt{2}}{10}1072
cos(π4+α)\cos(\frac{π}{4}+\alpha)cos(4π+α) = cosπ4cosα−sinπ4sinα\cos\frac{π}{4}\cos\alpha-\sin\frac{π}{4}\sin\alphacos4πcosα−sin4πsinα = 7210\frac{7\sqrt{2}}{10}1072
tanα−tanπ41+tanαtanπ4\frac{\tan\alpha-\tan\frac{π}{4}}{1+\tan\alpha\tan\frac{π}{4}}1+tanαtan4πtanα−tan4π = -7
\quad
\quad
例题5:
(1) cos20°cos70°−sin20°sin70°\cos20°\cos70°-\sin20°\sin70°cos20°cos70°−sin20°sin70°
=>cos(20°+70°)\cos(20°+70°)cos(20°+70°)
=>cos90°\cos90°cos90°
=>0
\quad
(2)1+tan15°1−tan15°\frac{1+\tan15°}{1-\tan15°}1−tan15°1+tan15°
=>tan(45°+15°)\tan(45°+15°)tan(45°+15°)
=>tan60°\tan60°tan60°
=>3\sqrt{3}3
\quad
\quad
例题6: 已知α\alphaα是锐角, sinα=35\sin\alpha=\frac{3}{5}sinα=53, 则cos(π4+α)\cos(\frac{π}{4}+\alpha)cos(4π+α)等于___
∵\because∵ α\alphaα是锐角, sinα\sin\alphasinα为正
∴\therefore∴ α\alphaα在第一象限
cosα\cos\alphacosα = 1−sin2α\sqrt{1-\sin^2\alpha}1−sin2α = 45\frac{4}{5}54
cos(π4+α)\cos(\frac{π}{4}+\alpha)cos(4π+α) = 210\frac{\sqrt{2}}{10}102
\quad
\quad
例题7(妙): 已知锐角α,β\alpha,\betaα,β 满足cosα=35\cos\alpha = \frac{3}{5}cosα=53, cos(α+β)=−513\cos(\alpha+\beta)=-\frac{5}{13}cos(α+β)=−135, 则cosβ\cos\betacosβ等于_____
依题意得: α\alphaα在第一象限, α\alphaα+β\betaβ在第二象限
sinα\sin\alphasinα = 1−cos2α\sqrt{1-\cos^2\alpha}1−cos2α = 45\frac{4}{5}54
sin(α+β)\sin(\alpha+\beta)sin(α+β) = 1213\frac{12}{13}1312
cosβ\cos\betacosβ = cos[(α+β)−α]\cos[(\alpha+\beta)-\alpha]cos[(α+β)−α] = cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα\cos(\alpha+\beta)\cos\alpha+\sin(\alpha+\beta)\sin\alphacos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα = 3365\frac{33}{65}6533
\quad
\quad
例题8: 已知tanα=17,sinβ=1010\tan\alpha=\frac{1}{7},\sin\beta=\frac{\sqrt{10}}{10}tanα=71,sinβ=1010, 且α,β\alpha,\betaα,β为锐角, 求α+2β\alpha+2\betaα+2β的值
依题意得: α,β\alpha,\betaα,β都在第一象限
cosβ=1−sin2β=31010\cos\beta=\sqrt{1-\sin^2\beta}=\frac{3\sqrt{10}}{10}cosβ=1−sin2β=10310
tanβ=13\tan\beta=\frac{1}{3}tanβ=31
tan(α+β)\tan(\alpha+\beta)tan(α+β) = tanα+tanβ1−tanαtanβ\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}1−tanαtanβtanα+tanβ = 12\frac{1}{2}21
tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]\tan(\alpha+2\beta)=\tan[(\alpha+\beta)+\beta]tan(α+2β)=tan[(α+β)+β] = tan(α+β)+tanβ1−tan(α+β)tanβ=1\frac{\tan(\alpha+\beta)+\tan\beta}{1-\tan(\alpha+\beta)\tan\beta}=11−tan(α+β)tanβtan(α+β)+tanβ=1
∴\therefore∴ α+2β\alpha+2\betaα+2β = π4\frac{π}{4}4π
\quad
\quad
二. 二倍角公式
sin2α=2sinαcosα\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alphasin2α=2sinαcosα
cos2α=cos2α−sin2α\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alphacos2α=cos2α−sin2α
cos2α=1−2sin2α\cos2\alpha=1-2\sin^2\alphacos2α=1−2sin2α
cos2α=2cos2α−1\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1cos2α=2cos2α−1
tan2α=2tanα1−tan2α\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}tan2α=1−tan2α2tanα
\quad
\quad
例题9:
(1) 已知α∈(π2,π)\alpha\in(\frac{π}{2}, π)α∈(2π,π), sinα=55\sin\alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}sinα=55, 则sin2α\sin2\alphasin2α, cos2α\cos2\alphacos2α, tan2α\tan2\alphatan2α分别为多少
依题意得: α\alphaα在第二象限
cosα=1−sin2α=−255\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}cosα=1−sin2α=−525
tanα=−12\tan\alpha=-\frac{1}{2}tanα=−21
sin2α=2sinαcosα=−45\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=-\frac{4}{5}sin2α=2sinαcosα=−54
cos2α=1−2sin2α=35\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha=\frac{3}{5}cos2α=1−2sin2α=53
tan2α=2tanα1−tan2α=−43\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=-\frac{4}{3}tan2α=1−tan2α2tanα=−34
\quad
(2) 已知sin(π4−α)=513\sin(\frac{π}{4}-\alpha)=\frac{5}{13}sin(4π−α)=135, 0<α\alphaα<π4\frac{π}{4}4π, 求cos2α\cos2\alphacos2α的值
依题意得: α\alphaα在第一象限
sin(π4−α)=sinπ4cosα−cosπ4sinα\sin(\frac{π}{4}-\alpha)=\sin\frac{π}{4}\cos\alpha-\cos\frac{π}{4}\sin\alphasin(4π−α)=sin4πcosα−cos4πsinα = 513\frac{5}{13}135
=>22(cosα−sinα)=513\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha-\sin\alpha)=\frac{5}{13}22(cosα−sinα)=135
=>(cosα−sinα)2=50169(\cos\alpha-\sin\alpha)^2=\frac{50}{169}(cosα−sinα)2=16950
=>2sinαcosα2\sin\alpha\cos\alpha2sinαcosα = 119169\frac{119}{169}169119
\quad
\quad
例题10: 已知sin2α=513,π4<α<π2\sin2\alpha=\frac{5}{13},\frac{π}{4}<\alpha<\frac{π}{2}sin2α=135,4π<α<2π, 求sin4α,cos4α,tan4α\sin4\alpha,\cos4\alpha,\tan4\alphasin4α,cos4α,tan4α的值
解:
π4<α<π2\frac{π}{4}<\alpha<\frac{π}{2}4π<α<2π
π2<2α<π\frac{π}{2}<2\alpha<π2π<2α<π 第二象限
cos2α=1−sin22α=−1213\cos2\alpha=\sqrt{1-\sin^22\alpha}=-\frac{12}{13}cos2α=1−sin22α=−1312
sin4α=2sin2αcos2α=−120169\sin4\alpha=2\sin2\alpha\cos2\alpha=-\frac{120}{169}sin4α=2sin2αcos2α=−169120
cos4α=cos22α−sin22α=119169\cos4\alpha=\cos^22\alpha-\sin^22\alpha=\frac{119}{169}cos4α=cos22α−sin22α=169119
tan4α=2tan2α1−tan22α=−120119\tan4\alpha=\frac{2\tan2\alpha}{1-\tan^22\alpha}=-\frac{120}{119}tan4α=1−tan22α2tan2α=−119120
\quad
\quad
三. 半角公式
sinα2=±1−cosα2\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}sin2α=±21−cosα
cosα2=±1+cosα2\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}cos2α=±21+cosα
tanα2=sinα1+cosα=1−cosαsinα\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}tan2α=1+cosαsinα=sinα1−cosα
\quad
tanα2=±1−cosα1+cosα\tan\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}tan2α=±1+cosα1−cosα
\quad
\quad
例题11: 求证
sinαcosβ=12[sin(α+β)+sin(α−β)]\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]sinαcosβ=21[sin(α+β)+sin(α−β)]
2sinαcosβ=sinαcosβ+cosαsinβ+sinαcosβ−cosαsinβ2\sin\alpha\cos\beta=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta2sinαcosβ=sinαcosβ+cosαsinβ+sinαcosβ−cosαsinβ
2sinαcosβ2\sin\alpha\cos\beta2sinαcosβ = 2sinαcosβ2\sin\alpha\cos\beta2sinαcosβ
\quad
\quad
例题12:
(1)已知cosα=35,α∈(32π,2π),则sinα2\cos\alpha=\frac{3}{5},\alpha\in(\frac{3}{2}π,2π),则\sin\frac{\alpha}{2}cosα=53,α∈(23π,2π),则sin2α等于____
解:α∈(32π,2π)\alpha\in(\frac{3}{2}π,2π)α∈(23π,2π)
α2∈(34π,π)\frac{\alpha}{2}\in(\frac{3}{4}π,π)2α∈(43π,π) 第二象限
sinα2=1−cosα2=55\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}=\frac{\sqrt{5}}{5}sin2α=21−cosα=55
(2)已知sinα−cosα=−54,则sin2α\sin\alpha-\cos\alpha=-\frac{5}{4},则\sin2\alphasinα−cosα=−45,则sin2α的值等于____
−916-\frac{9}{16}−169
\quad
\quad
例题13: 求证:4sinαcos2α2=2sinα+sin2α4\sin\alpha\cos^2\frac{\alpha}{2}=2\sin\alpha+\sin2\alpha4sinαcos22α=2sinα+sin2α
cos2α2=1+cosα2\cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}cos22α=21+cosα
4sinα(1+cosα2)=2sinα+sin2α4\sin\alpha(\frac{1+\cos\alpha}{2})=2\sin\alpha+\sin2\alpha4sinα(21+cosα)=2sinα+sin2α
=> 2sinα+2sinαcosα=2sinα+sin2α2\sin\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha=2\sin\alpha+\sin2\alpha2sinα+2sinαcosα=2sinα+sin2α
\quad
\quad
四. 辅助角公式
asinβ+bcosβ=a2+b2sin(β+θ)a\sin\beta+b\cos\beta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\beta+\theta)asinβ+bcosβ=a2+b2sin(β+θ) (其中tanθ=ba\tan\theta=\frac{b}{a}tanθ=ab)
\quad
\quad
例题14: 求下列函数的最小正周期, 最大值和最小值
(1) y=sinx+3cosxy=\sin x+\sqrt{3}\cos xy=sinx+3cosx
根据辅助角公式得
原式=2sin(x+π3)2\sin(x+\frac{π}{3})2sin(x+3π)
T=2π∣w∣=2π\frac{2π}{|w|}=2π∣w∣2π=2π
值域为[-2,2]
最大值为2,最小值为-2
(2) y=3sinx+4cosxy=3\sin x+4\cos xy=3sinx+4cosx
根据辅助角公式得
原式=5sin(x+θ)5\sin(x+\theta)5sin(x+θ)
T=2π∣w∣=2π\frac{2π}{|w|}=2π∣w∣2π=2π
值域为[-5,5]
最大值为5,最小值为-5
\quad
\quad
例题15: 函数y=32sin2x+cos2xy=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x+\cos^2xy=23sin2x+cos2x的最小正周期为____
解: 由二倍角公式得
cos2x=cos2x+12\cos^2x=\frac{\cos2x+1}{2}cos2x=2cos2x+1
原式=32sin2x+12cos2x+12\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x+\frac{1}{2}\cos2x+\frac{1}{2}23sin2x+21cos2x+21
\quad = sin(2x+π6)+12\sin(2x+\frac{π}{6})+\frac{1}{2}sin(2x+6π)+21
T=2π∣w∣=π\frac{2π}{|w|}=π∣w∣2π=π
\quad
\quad
例题16: 设5π<θ\thetaθ<6π, cosθ2=a,则sinθ4\cos\frac{\theta}{2}=a,则\sin\frac{\theta}{4}cos2θ=a,则sin4θ等于____
依题意得: 54π<θ4<32π\frac{5}{4}π<\frac{\theta}{4}<\frac{3}{2}π45π<4θ<23π 属于第三象限
sinθ4=−1−a2\sin\frac{\theta}{4}=-\sqrt{\frac{1-a}{2}}sin4θ=−21−a
\quad
\quad
五. 三角函数模型
y=Asin(wx+ϕ)y=A\sin(wx+\phi)y=Asin(wx+ϕ)
A: 影响y轴方向的拉伸和压缩
ω\omegaω: 影响周期(x轴方向的拉伸和压缩)
ϕ\phiϕ: 影响图像左加右减位移
\quad
\quad
例题17: 将函数y=sin(x−π3)y=\sin(x-\frac{π}{3})y=sin(x−3π)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍, 再将所得图像向左平移π3\frac{π}{3}3π个单位, 则所得函数图像对应的解析式为_____
sin(12x−π3)\sin(\frac{1}{2}x-\frac{π}{3})sin(21x−3π)
||
sin[12(x+π3)−π3]\sin[\frac{1}{2}(x+\frac{π}{3})-\frac{π}{3}]sin[21(x+3π)−3π]
||
sin(12x−π6)\sin(\frac{1}{2}x-\frac{π}{6})sin(21x−6π)
\quad
\quad
例题18: 已知函数y=2sin(2x−π6)y=2\sin(2x-\frac{π}{6})y=2sin(2x−6π), x∈\in∈R
(1) 写出函数f(x)的对称轴方程、对称中心的坐标及单调区间
2x−π6=π2+kπ2x-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+kπ2x−6π=2π+kπ (k ∈\in∈ Z)
对称轴: x=π3+kπ2x=\frac{π}{3}+\frac{kπ}{2}x=3π+2kπ (k ∈\in∈ Z)
2x−π6=kπ2x-\frac{π}{6}=kπ2x−6π=kπ (k ∈\in∈ Z)
对称中心: (π12+π2k\frac{π}{12}+\frac{π}{2}k12π+2πk, 0)
−π2+2kπ<2x−π6<π2+2kπ-\frac{π}{2}+2kπ<2x-\frac{π}{6}<\frac{π}{2}+2kπ−2π+2kπ<2x−6π<2π+2kπ \quad(k ∈\in∈ Z)
增区间: [−π6+kπ-\frac{π}{6}+kπ−6π+kπ,π3+kπ\frac{π}{3}+kπ3π+kπ] \quad(k ∈\in∈ Z)
π2+2kπ<2x−π6<3π2+2kπ\frac{π}{2}+2kπ<2x-\frac{π}{6}<\frac{3π}{2}+2kπ2π+2kπ<2x−6π<23π+2kπ \quad(k ∈\in∈ Z)
减区间: [π3+kπ\frac{π}{3}+kπ3π+kπ,5π6+kπ\frac{5π}{6}+kπ65π+kπ] \quad(k ∈\in∈ Z)
(2)求函数f(x)在区间[0,π2\frac{π}{2}2π]上的最大值和最小值
由(1)得x=π3+kπx=\frac{π}{3}+kπx=3π+kπ \quad(k ∈\in∈ Z)时, y取得最大值
π3∈[0,π2]\frac{π}{3}\in[0,\frac{π}{2}]3π∈[0,2π]
∴\therefore∴ f(x)在区间[0,π2\frac{π}{2}2π]上最大值为2
当x=0时, y=2sin(−π6)=−1y=2\sin(-\frac{π}{6})=-1y=2sin(−6π)=−1
当x=π2\frac{π}{2}2π时, y=2sin(π−π6)=−1y=2\sin(π-\frac{π}{6})=-1y=2sin(π−6π)=−1
∴\therefore∴ f(x)在区间[0,π2\frac{π}{2}2π]上最小值为-1
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