高等数学(预备知识之对数函数)
目录
- 一.对数的概念
- 1.1两个特殊对数式
- 1.2自然对数与常用对数
- 二.对数的运算性质
- 三.对数函数的概念
- 四.对数函数的图像与性质
一.对数的概念
如果ax=N (a>0, 且a≠1),(x>0) 那么数x叫做以a为底N的对数, 记作x= log a N \log a^N logaN, 其中a叫做对数的底数, N叫做真数
\quad
1.1两个特殊对数式
log a 1 \log a^1 loga1 = 0
log a a \log a^a logaa = 1
1.2自然对数与常用对数
通常, 把以10为底的对数称为常用对数, 记作 lg N \lg N lgN
把以e为底的对数称作自然对数, 记作 ln N \ln N lnN, (e是无理数, 约为2.71828…)
例题1: 求下列各式中的x的值
(1) log 6 4 X \log 64^X log64X = - 2 3 \frac{2}{3} 32 \quad x= 1 16 \frac{1}{16} 161
(2) log x 8 \log x^8 logx8 = 6
x6=8
x6=(x2)3=23
x= ± \pm ± 2 \sqrt{2} 2
由于x>0, 且x≠1
∴ \therefore ∴ x= 2 \sqrt{2} 2
(3) lg 100 \lg 100 lg100 = x \quad x=2
(4)- ln e 2 \ln e^2 lne2 = x \quad x= -2
\quad
二.对数的运算性质
(2) log a M \log a^M logaM + log a N \log a^N logaN = log a M N \log_{a}^{MN} logaMN
(3) log a M \log a^M logaM - log a N \log a^N logaN = log a M N \log_{a}^{\frac{M}{N}} logaNM
(4) log a M n \log_{a}^{M^n} logaMn = n log a M \log_{a}^{M} logaM
注意: 底数要相同
(5) log a b \log a^b logab = log c b log c a \frac{\log c^b}{\log c^a} logcalogcb (c>0,且c≠1)(换底公式)
(6) log a b \log_{a}{b} logab . log b a \log_{b}{a} logba = lg b lg a \frac{\lg_{}{b}}{\lg_{}{a}} lgalgb . lg a lg b \frac{\lg_{}{a}}{\lg_{}{b}} lgblga = 1
(7) 1 log b a \frac{1}{\log_{b}{a}} logba1 = log a b \log_{a}{b} logab
\quad
例题2: 求下列各式的值
(1) log 8 4 \log 8^4 log84+ log 8 2 \log 8^2 log82 \quad =1
(2) log 5 10 \log_{5}^{10} log510+ log 5 2 \log_{5}^{2} log52 \quad =1
(3) log 2 ( 4 7 ∗ 2 5 ) \log_{2}^{(4^7*2^5)} log2(47∗25) =19
\quad
例题3:
lg 5 2 \lg 5^2 lg52+ 2 3 \frac{2}{3} 32 lg 8 \lg 8 lg8+ lg 5 \lg 5 lg5 * lg 20 \lg 20 lg20+( lg 2 \lg 2 lg2)2
原式= lg 25 \lg 25 lg25+ lg 4 \lg 4 lg4+ lg 5 \lg 5 lg5*(2 lg 2 \lg 2 lg2+ lg 5 \lg 5 lg5)+ lg 2 \lg 2 lg2 * lg 2 \lg 2 lg2
=> 2+2 lg 5 \lg 5 lg5 * lg 2 \lg 2 lg2+ lg 5 \lg 5 lg5 * lg 5 \lg 5 lg5+ lg 2 \lg 2 lg2 * lg 2 \lg 2 lg2
=>2+ lg 5 \lg 5 lg5 * lg 2 \lg 2 lg2+ lg 5 \lg 5 lg5 * lg 5 \lg 5 lg5+ lg 5 \lg 5 lg5 * lg 2 \lg 2 lg2+ lg 2 \lg 2 lg2 * lg 2 \lg 2 lg2
=>2+ lg 5 \lg 5 lg5 * ( lg 2 \lg 2 lg2+ lg 5 \lg 5 lg5) + lg 5 \lg 5 lg5 * lg 2 \lg 2 lg2+ lg 2 \lg 2 lg2 * lg 2 \lg 2 lg2
=>2+ lg 5 \lg 5 lg5 + lg 2 \lg 2 lg2( lg 2 \lg 2 lg2+ lg 5 \lg 5 lg5)
=>2+ lg 2 \lg 2 lg2+ lg 5 \lg 5 lg5
=>2+1
=>3
\quad
例题4:
(1) log 8 9 \log_{8}{9} log89. log 27 32 \log_{27}{32} log2732
=> log 2 3 3 2 \log_{2^3}{3^2} log2332 . log 3 3 2 5 \log_{3^3}{2^5} log3325
=> 2 3 \frac{2}{3} 32 log 2 3 \log_{2}{3} log23 . 5 3 \frac{5}{3} 35 log 3 2 \log_{3}{2} log32
=> 10 9 \frac{10}{9} 910 log 2 3 \log_{2}{3} log23. log 3 2 \log_{3}{2} log32
=> 10 9 \frac{10}{9} 910 . lg 3 lg 2 \frac{\lg_{}{3}}{\lg_{}{2}} lg2lg3 . lg 2 lg 3 \frac{\lg_{}{2}}{\lg_{}{3}} lg3lg2
=> 10 9 \frac{10}{9} 910
\quad
\quad
(2) ( log 4 3 \log_{4}{3} log43+ log 8 3 \log_{8}{3} log83) lg 2 lg 3 \frac{\lg_{}{2}}{\lg_{}{3}} lg3lg2
=>( log 4 3 \log_{4}{3} log43+ log 8 3 \log_{8}{3} log83) log 3 2 \log_{3}{2} log32
=>( 1 2 \frac{1}{2} 21 log 2 3 \log_{2}{3} log23+ 1 3 \frac{1}{3} 31 log 2 3 \log_{2}{3} log23) log 3 2 \log_{3}{2} log32
=> 1 2 \frac{1}{2} 21 log 2 3 \log_{2}{3} log23 . log 3 2 \log_{3}{2} log32 + 1 3 \frac{1}{3} 31 log 2 3 \log_{2}{3} log23 . log 3 2 \log_{3}{2} log32
=> 1 2 \frac{1}{2} 21 + 1 3 \frac{1}{3} 31
=> 5 6 \frac{5}{6} 65
\quad
\quad
例题5:
(1) 若3x = 4y = 36, 求 2 x \frac{2}{x} x2 + 1 y \frac{1}{y} y1的值
解:
依题意得: log 3 36 \log_{3}{36} log336 = x, log 4 36 = y \log_{4}{36 = y } log436=y
2 log 3 6 \log_{3}{6} log36=x, log 2 6 \log_{2}{6} log26=y
带入式子得
2 2 log 3 6 \frac{2}{2\log_{3}{6}} 2log362+ 1 log 2 6 \frac{1}{\log_{2}{6}} log261
=> 1 log 3 6 \frac{1}{\log_{3}{6}} log361+ log 6 2 \log_{6}{2} log62
=> log 6 3 \log_{6}{3} log63+ log 6 2 \log_{6}{2} log62
=>1
\quad
(2) 已知3x = 4y = 6a, 求证: 1 x \frac{1}{x} x1 + 1 2 y \frac{1}{2y} 2y1 = 1 a \frac{1}{a} a1
证明:
设:3x = 4y = 6a=n
∴ \therefore ∴ log 3 n \log_{3}{n} log3n = x
log 4 n \log_{4}{n} log4n= y
log 6 n \log_{6}{n} log6n= a
带入式子得
1 log 3 n \frac{1}{\log_{3}{n}} log3n1+ 1 2 log 4 n \frac{1}{2\log_{4}{n}} 2log4n1 = 1 log 6 n \frac{1}{\log_{6}{n}} log6n1
=> log n 3 \log_{n}{3} logn3+ 1 2 log n 4 \frac{1}{2}\log_{n}{4} 21logn4= log n 6 \log_{n}{6} logn6
=> log n 3 \log_{n}{3} logn3+ log n 2 \log_{n}{2} logn2= log n 6 \log_{n}{6} logn6
等式成立
∴ \therefore ∴ 1 x \frac{1}{x} x1 + 1 2 y \frac{1}{2y} 2y1 = 1 a \frac{1}{a} a1
\quad
\quad
例题6
(1): log 15 3 \log_{15}{3} log153 - log 6 2 \log_{6}{2} log62 + log 15 5 \log_{15}{5} log155 - log 6 3 \log_{6}{3} log63 = ____
log 15 3 \log_{15}{3} log153 + log 15 5 \log_{15}{5} log155 - log 6 2 \log_{6}{2} log62 - log 6 3 \log_{6}{3} log63
=> 1 - ( log 6 2 \log_{6}{2} log62 + log 6 3 \log_{6}{3} log63)
=> 1 - 1
=> 0
\quad
(2) 设10a=2, lg 3 \lg_{}{3} lg3=b, 则 log 2 6 \log_{2}{6} log26=_____
依题意得: lg 2 \lg_{}{2} lg2=a, lg 3 \lg_{}{3} lg3=b
log 2 6 \log_{2}{6} log26 = lg 6 lg 2 \frac{\lg_{}{6}}{\lg_{}{2}} lg2lg6 = lg 2 + lg 3 lg 2 \frac{\lg_{}{2}+\lg_{}{3}}{\lg_{}{2}} lg2lg2+lg3 = a + b a \frac{a+b}{a} aa+b
\quad
\quad
三.对数函数的概念
通常, 我们用x表示自变量, 用y表示函数
所以将对数函数写成 y= log a x \log_{a}{x} logax (a>0,且a≠1)
例题7:
给出下列函数:
(1) y= log 5 x \log_{5}{x} log5x+1
(2) y= log a x 2 \log_{a}{x^2} logax2(a>0, 且a≠1)
(3) y= log ( 3 − 1 ) x \log_{(\sqrt[]{3}-1)}{x} log(3 −1)x
(4) y= 1 3 \frac{1}{3} 31 log 3 x \log_{3}{x} log3x
(5) y= log x 3 \log_{x}{\sqrt[]{3}} logx3 (x>0, 且x≠1) \quad \quad 底数不能为自变量
(6) y= log 2 π x \log_{\frac{2}{π}}{x} logπ2x
其中是对数的是(3)(6)
\quad
例题8:
(1)若函数y= log ( 2 a − 1 ) x \log_{(2a-1)}{x} log(2a−1)x +(a2- 5a+4)是对数函数, 则a=____
依题意得: a2- 5a+4=0, 2a-1>0, 2a-1≠1
解得a=4
(2)若函数f(x)=(a2+a-5) log a x \log_{a}{x} logax是对数函数, 则a=____
依题意得 a2+a-5=1, a>0, a≠1
解得a=2
(3)函数f(x)= log 2 ( x − 1 ) \log_{2}{(x-1)} log2(x−1)的定义域是______
(1,+ ∞ \infty ∞)
\quad
例题9: 求下列函数的定义域
(1) f(x)= 1 2 − x \frac{1}{\sqrt[]{2-x}} 2−x 1+ ln x + 1 \ln_{}{x+1} lnx+1
依题意得: 2-x>0, x+1>0
解得x ∈ \in ∈(-1,2)
\quad
(2) f(x)= log ( 2 x − 1 ) ( − 4 x + 8 ) \log_{(2x-1)}{(-4x+8)} log(2x−1)(−4x+8)
依题意得: 2x-1>0, 2x-1≠1, -4x+8>0
解得x ∈ \in ∈ ( 1 2 \frac{1}{2} 21,1) ∪ \cup ∪(1,2)
\quad
\quad
四.对数函数的图像与性质
例题10: 比较大小
log 2 3.4 \log_{2}{3.4} log23.4与 log 2 8.5 \log_{2}{8.5} log28.5 \quad \quad <
log 0.3 1.8 \log_{0.3}{1.8} log0.31.8与 log 0.3 2.7 \log_{0.3}{2.7} log0.32.7 \quad \quad >
log a 5.1 \log_{a}{5.1} loga5.1与 log a 5.9 \log_{a}{5.9} loga5.9
当0<a<1时, >
当a>1时, \quad <
\quad
例题11:
已知 log a 3 a − 1 \log_{a}{3a-1} loga3a−1恒为正, 求a的取值范围
依题意得:
当0<a<1时, 0<3a-1<1 恒为正
当a>1时, 3a-1>1 恒为正
解得x ∈ \in ∈ ( 1 3 \frac{1}{3} 31, 2 3 \frac{2}{3} 32) ∪ \cup ∪(1,+ ∞ \infty ∞)
\quad
例题12:求下列函数的值域
(1) y= log 2 ( x 2 + 4 ) \log_{2}{(x^2+4)} log2(x2+4)
解: x2+4>0
当x=0时,取得最小值
将x=0代入原式中解得y=2
∵ \because ∵函数底数大于1,为增函数
∴ \therefore ∴函数的值域为[2,+ ∞ \infty ∞)
\quad
(2) y= log 1 2 ( 3 + 2 x − x 2 ) \log_{\frac{1}{2}}{(3+2x-x^2)} log21(3+2x−x2)
解: 3+2x-x2>0
解得顶点为(1,4)
将3+2x-x2=4带入原式得, y=-2
∵ \because ∵函数底数小于1,为减函数
∴ \therefore ∴函数的值域为[-2,+ ∞ \infty ∞)
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