一.任意角

(在初中的角度概念中角度是0~360°
高中之后扩展到任意角)

按逆时针方向旋转形成的角叫做正角
按顺时针方向旋转形成的角叫做负角
一条射线没有旋转叫做零角

把射线OA围绕端点按不同方向旋转相同的量所形成的的两个角互为相反数

终边落在哪个象限,就叫第几象限角,落在x,y轴上称为轴线角

思考:
1.第几象限角能否反应角的大小?
不能, 比如第一象限角可以旋转若干圈回到第一象限

2.与42°角终边相同的角的集合如何表示
{α\alphaα | α\alphaα=42° + 360°k, k∈\in∈ Z}
注意:Z表示整数,包含正负

3.如何表示轴线角的集合
{α\alphaα | α\alphaα=α\alphaα+90°k, k∈\in∈ Z}

\quad
\quad
例题1:
已知集合A={第一象限角}, B={锐角}, C={小于90°的角}, 则下面关系正确的是__D___
A. A=B=C
B. A⊆CA \subseteq CA⊆C
C. A∩CA \cap CA∩C= B
D. B∪CB \cup CB∪C=C
关键: 第一象限角可以旋转若干圈回到第一象限

\quad
例题2: 已知角α\alphaα在如图阴影表示的范围内(不包含边界), 那么角α\alphaα的集合是______{α\alphaα | 45°+360°k<α\alphaα<150°+360°k , k∈\in∈ Z}

\quad
\quad
例题3: 将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得到的角度为_____, 将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度为______
{-25°+360°k, k∈\in∈ Z}
{35+360°k, k∈\in∈ Z}

\quad
例题4: 若α\alphaα是第一象限角, 则α2\frac{\alpha}{2}2α是第几象限___(一,三)___
解:
{α\alphaα | 360°k <α\alphaα< 90°+360°k , k∈\in∈ Z}
{α2\frac{\alpha}{2}2α | 180°k <α2\frac{\alpha}{2}2α< 45°+180°k , k∈\in∈ Z}

\quad
\quad
\quad

二.弧度制

弧度制: 把弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制, 它的单位是弧度, 单位符号是rad

把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角
正角的弧度数为正数, 负角的弧度数为负数, 零角的弧度数为0

L为1弧度

\quad

2.1弧度与角度的互化

我们知道圆的周长为2πr, 1弧度为r, 也就是1弧度的2π倍为周长
360°=2π rad
180°=π rad
90°=π2\frac{π}{2}2π rad

1弧度为180°π\frac{180°}{π}π180°≈57.3°
之后尽量用弧度制表示角度

\quad
\quad

2.2弧长与扇形面积公式

弧长公式: L=α\alphaαR

推导过程:
我们知道圆的周长是2πR
360° => 2πR

1° \quad=> 2πR360°\frac{2πR}{360°}360°2πR

α\alphaα \quad => α∗2πR360°\frac{\alpha*2πR}{360°}360°α∗2πR
\quad\quad => α\alphaαR

\quad
\quad
\quad
扇形面积公式: S=12\frac{1}{2}21α\alphaαR²=12\frac{1}{2}21LR(由弧长公式代入得到)

推导方式一:
我们知道圆形的面积公式为πR²
可以看做圆形是由扇形的若干倍组成
πR² * α2π\frac{\alpha}{2π}2πα = S
整理得:
S=12\frac{1}{2}21α\alphaαR²

代入L=α\alphaαR得
S=12\frac{1}{2}21LR

\quad
\quad
推导方式二(微积分思想):
可以把扇形看作是由非常多个小三角形组成

三角形的面积公式是12\frac{1}{2}21.底.高
由于三角形足够小, 底几乎可以看作直线
也就可以把扇形当作三角形
S=12\frac{1}{2}21LR

\quad
\quad
例题5: 用表示第一象限角的范围______
{2kπ, π2\frac{π}{2}2π+2kπ}(k∈\in∈ Z)

\quad
\quad
例题6: 在半径为10的圆中, 240°的圆心角所对弧长为____
解: 弧长公式为L=α\alphaαR
L=4π3\frac{4π}{3}34π * 10

L=40π3\frac{40π}{3}340π

\quad
\quad
例题7: 把下面的弧度化成角度或角度化成弧度
(1)-450° \quad -5π2\frac{5π}{2}25π

(2)π10\frac{π}{10}10π \quad 18°

(3) -4π3\frac{4π}{3}34π \quad -240°

(4)112°30’ \quad 5π8\frac{5π}{8}85π
(角度制中，1°=60′)

\quad
\quad

例题8: 用弧度制表示阴影部分的集合(不包括边界)

(1){-π6\frac{π}{6}6π+2kπ, 5π12\frac{5π}{12}125π+2kπ} (k∈\in∈ Z)

(2){-3π4\frac{3π}{4}43π+2kπ, 3π4\frac{3π}{4}43π+2kπ} (k∈\in∈ Z)

(3){π6\frac{π}{6}6π+kπ, π2\frac{π}{2}2π+kπ} (k∈\in∈ Z)

\quad
\quad
\quad
例题9: 已知扇形AOB的圆心角为120°, 半径长为6, 求弓形ACB的面积

解:(思路是扇形减去三角形)
扇形面积: S=12\frac{1}{2}21α\alphaαR²
S=12\frac{1}{2}21* 2π3\frac{2π}{3}32π * 6²
S=12π

Δ\DeltaΔS=9 3\sqrt[]{3}3

∴\therefore∴ 弓形ACB的面积为12π - 9 3\sqrt[]{3}3

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高等数学(预备知识之任意角与弧度制)

目录

一.任意角

二.弧度制

2.1弧度与角度的互化

2.2弧长与扇形面积公式

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