L' Hospital(洛必达)法则

如果当x→a(或x→∞)x \to a (或x \to \infty)时，两个函数f(x)与F()f(x) 与F()都趋于0或∞0 或 \infty，那么极限

limx→a(x→∞)f(x)F(x)

\lim_{x\to a}_{(x \to \infty)}\frac{f(x)}{F(x)}可能存在，也可能不存在.
通常 把这种极限叫做 未定式，并分别简记为 00\frac{0}{0}或 ∞∞\frac{\infty}{\infty}.

在极限是未定式的条件下，通过分子分母同时分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达(L’Hospital)法则

洛必达法则的两个定理：

对于x→ax \to a时的未定式00\frac{0}{0}（亦即x→∞x \to \infty时的未定式∞∞\frac{\infty}{\infty}）的情形，有以下定理：
定理一：设
(1)当x→ax \to a时，函数f(x)f(x)及F(x)F(x)都趋向于0；
(2)在点aa的某去心邻域内，f′(x)f'(x)及F′(x)F'(x)都存在，且F′(x)≠0F'(x) \neq 0；
(3)limx→af′(x)F′(x)\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{F'(x)}存在（或为无穷大），
则

limx→af(x)F(x)=limx→af′(x)F′(x)

\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{F(x)} = \lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{F'(x)}

对于x→∞x \to \infty时的未定式00\frac{0}{0}（亦即x→ax \to a时的未定式∞∞\frac{\infty}{\infty}）的情形，有以下定理：
定理二：设
(1)当x→∞x \to \infty时，函数f(x)f(x)及F(x)F(x)都趋向于0；
(2)当|x|>N|x| > N时，f′(x)与F′(x)f'(x)与F'(x)都存在，且F′(x)≠0F'(x) \neq 0;
(3)limx→af′(x)F′(x)\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{F'(x)}存在（或为无穷大），
则

limx→af(x)F(x)=limx→af′(x)F′(x)

\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{F(x)} = \lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{F'(x)}

其他还有一些0⋅∞、∞−∞、00、i∞、∞00·\infty、\infty - \infty、0^0、i^\infty、\infty^0型的未定式，也可以通过00或∞∞\frac{0}{0}或\frac{\infty}{\infty}型的未定式来计算.

下面举一些例子：
1、求

limx→0+xnlnx(n>0).

\lim_{x \to 0^+}x^n\ln x(n > 0).
解：
这是 0⋅∞0 · \infty未定式.因为

xnlnx=lnx1xn

x^n\ln x = \frac{\ln x}{\frac{1}{x^n}}当 x→0+x \to 0^+时，上式右端是未定式 ∞∞\frac{\infty}{\infty}，应用洛必达法则，得

limx→0+xnlnx=limx→0+(−xnn)=0

\lim_{x \to 0^+}x^n\ln x = \lim_{x \to 0^+}(\frac{-x^n}{n}) = 0

2、求

limx→π2(secx−tanx).

\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}(\sec x - \tan x).
解：
这是 ∞−∞\infty -\infty型.因为

secx−tanx=1−sinxcosx

\sec x - \tan x = \frac{1 - \sin x}{\cos x},
当 x→π2x \to \frac{\pi}{2}时，上式右端是未定式 00\frac{0}{0}，应用洛必达法则，得

limx→π2(secx−tanx)=limx→π2−cosx−sinx=0

\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}(\sec x - \tan x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{-\cos x}{-\sin x} = 0

3、求

limx→x+xx

\lim _{x \to x^+}x^x
解
这是 000^0未定式.设 y=xxy = x^x，取对数得

lny=xlnx

\ln y = x \ln x当 x→0+x \to 0^+时，上式右端是未定式 0⋅∞0 ·\infty.应用洛必达法则得

limx→x+lny=limx→x+(xlnx)=limx→x+lnx1x=0

\lim _{x \to x^+} \ln y = \lim _{x \to x^+}(x\ln x) = \lim _{x \to x^+}\frac{\ln x}{\frac{1}{x}} = 0因为 y=elnyy = e^{\ln y}，而 limy=limelny=limelimlny(x→0+)\lim y = \lim e^{\ln y} =\lim e^{\lim \ln y}(x \to 0^+),所以

limx→x+xx=limx→x+y=e0=1

\lim _{x \to x^+}x^x = \lim _{x \to x^+} y = e^0 = 1

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