题目

标准答案思路：

错误思路：

错因分析：

一、标准答案

二、考点总结

1.某点n阶导函数存在的推论

2.洛必达的使用范围

3、n阶可导为什么只能使用n-1次洛必达

4.泰勒公式

补充~

题目

标准答案思路：

方法1）见n阶可导分式——>联想洛必达法则

方法2）n阶可导函数——>泰勒公式公式展开

错误思路：

首先看到分子部分的被减数是导函数的定义式，由此一来分子在取h趋近于0的极限后，表示x=a的导函数减去x=a的导函数，导致分子为零，从而推出答案是 0。

错因分析：

忽略了二阶导函数带来的变化

一、标准答案

法一：洛必达

法二：泰勒展开

二、考点总结

1.某点n阶导函数存在的推论

题干中x=a处，2阶导函数存在。故不能推出x=a的邻域范围内导函数，存在因此更不能推出二阶导函数在x=a处连续（连续的条件是该点的左右函数极限存在且等于该点的函数值）

2.洛必达的使用范围

1）符合0/0、无穷/无穷型

2）f(x)和g(x)在x。的去心邻域内可导

3）最后结果的极限存在为有限实数或无穷大（经常考察这一点）

3、n阶可导为什么只能使用n-1次洛必达

n阶可导可以推出n-1阶导函数连续，但是n阶导函数未必连续。

针对洛必达的三条使用范围

1、第一条是形式上的要求满足即符合

2、第二条要求在函数n阶可导时，n阶导函数存在，也符合。

3、第三条要求n阶导函数使用洛必达法则求导后的极限存在。即要求该点处n阶导函数的极限存在，而n阶可导未必连续（详情证明参照另外一篇博客可导与连续），即该点的n阶导函数的极限可能不存在，前后矛盾，故只有n-1次

tips:

极限存在的充要条件是函数左极限和右极限在某点都存在且相等

4.泰勒公式

x=a处的f(x)的泰勒展开：f(x) = f(a) + f ' (a) (x - a) + (1 / 2!) f ' '(a) (x - a)^2 +...

常用的泰勒公式：

补充~

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引用了哪些大佬的博客、文章、或视频，附在下栏：

(51 封私信 / 80 条消息) 为什么函数n阶可导但只能用n-1次洛必达法则呢? - 知乎 (zhihu.com)

【彻底永久解决】洛必达究竟能洛到多少阶？【结论直接用】【目标120必看系列】_哔哩哔哩_bilibili
(51 封私信 / 80 条消息) 导函数的左右极限和左右导数有什么区别？ - 知乎 (zhihu.com)

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题目

标准答案思路：

错误思路：

错因分析：

一、标准答案

二、考点总结

1.某点n阶导函数存在的推论

2.洛必达的使用范围

3、n阶可导为什么只能使用n-1次洛必达

4.泰勒公式

补充~

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