连续，可积，存在原函数

六条路只有两条能通

可积但不存在原函数

f(x)存在原函数, 即存在可导函数F(x), 使f(x) = F’(x)对定义域内的任意x成立.
导数介值定理，f(x)有无穷间断点一定没有原函数

若F(x)在一个区间上处处可导, 则导函数F’(x)在该区间内没有第一类间断点(Lagrange中值定理)

f(x)={0,0≤x<1/21,1/2≤x≤1f(x)=\left\{\begin{array}{l}0\;\;,\;0\;\leq\;x\;<\;1/2\\1\;\;,1/2\;\leq\;x\;\leq\;1\end{array}\right.\\ f(x)={0,0≤x<1/21,1/2≤x≤1
f(x)在[0,1]上有界,且只有一个间断点x=1/2,因此f(x)在[0,1]是Riemann可积的.但是x=1/2是f(x)的第一类间断点,因此f(x)在[0,1]没有原函数.f(x)在[0,1]上有界, 且只有一个间断点x = 1/2, 因此f(x)在[0,1]是Riemann可积的.\\ 但是x = 1/2是f(x)的第一类间断点, 因此f(x)在[0,1]没有原函数.f(x)在[0,1]上有界,且只有一个间断点x=1/2,因此f(x)在[0,1]是Riemann可积的.但是x=1/2是f(x)的第一类间断点,因此f(x)在[0,1]没有原函数.

存在原函数但不可积

在闭区间[a,b]上Riemann可积需要两个方面的条件: 有界性和连续性(不连续点是零测集).

参考

变上限积分

变上限积分在被积函数在区间内有可去间断点时可导，但是它并不是那个被积函数的原函数，变上限积分在间断点处的导数值是被积函数在该点的极限值。
变上限积分只是一种抽象的函数，并不是基本初等函数类型的函数，但也是属于原函数的一种，而且用它可以表示出任何被积函数的原函数，即使有些被积函数并不存在形式为基本初等函数的原函数。

f(x)={0,x≠01,x=0f(x)没有原函数，F(x)=0是f(x)的变上限积分函数f(x)=\left\{\begin{array}{l}0\;\;,\;\;x\;\neq0\\1\;\;,\;\;x=0\end{array}\right.\\ f(x)没有原函数，F(x)=0是f(x)的变上限积分函数 f(x)={0,x=01,x=0f(x)没有原函数，F(x)=0是f(x)的变上限积分函数

连续性

f(x)在[a,b]可积，则∫axf(x)dx在[a,b]上连续f(x)在[a,b]可积，则\int_a^xf(x)dx在[a,b]上连续 f(x)在[a,b]可积，则∫axf(x)dx在[a,b]上连续

可导性

f(x)在[a,b]连续，则∫axf(x)dx在[a,b]上可导且有变上限求导公式f(x)在[a,b]连续，则\int_a^xf(x)dx在[a,b]上可导且有变上限求导公式 f(x)在[a,b]连续，则∫axf(x)dx在[a,b]上可导且有变上限求导公式

奇偶性

f(x)为奇函数,∫axf(x)dx为偶函数f(x)为偶函数,∫0xf(x)dx为奇函数f(x)为奇函数,\int_{ a }^{x}f(x)dx为偶函数\\ \\ f(x)为偶函数,\int_{0}^{x}f(x)dx为奇函数\\ f(x)为奇函数,∫axf(x)dx为偶函数f(x)为偶函数,∫0xf(x)dx为奇函数