自控原理学习笔记
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文章目录

1.输入输出稳定-对于CLTIS
- 1.1两种稳定状态
- - 1.1.1 BIBO稳定
  - 1.1.2 零输入稳定（渐近稳定）
  - 1.1.3 稳定性相关说明
2. Routh-Hurwitz判据
- 2.1 CLTIS稳定的必要条件
- 2.2 Routh判据
- 2.3 相关应用
- - （1）首列系数为0
  - （2）某行系数全为0
  - （3）相关稳定性问题
- 2.4 Hurwitz判据
- 2.4 Hurwitz判据

1.输入输出稳定-对于CLTIS

1.1两种稳定状态

1.1.1 BIBO稳定

定义：如果一个系统在一个有界输入或扰动作用下其响应是有限的。
充要条件：
y(t)=∫0tg(τ)u(t−τ)dτ⇒∣y(t)∣≤∫0t∣g(τ)∣⋅∣u(t−τ)∣dτ≤M∫0t∣g(τ)∣dτy(t)=\int_0^tg(\tau)u(t-\tau)d\tau\Rightarrow |y(t)|\le \int _0^t|g(\tau)|\cdot |u(t-\tau)|d\tau \le M\int_0^t|g(\tau)|d\tau y(t)=∫0tg(τ)u(t−τ)dτ⇒∣y(t)∣≤∫0t∣g(τ)∣⋅∣u(t−τ)∣dτ≤M∫0t∣g(τ)∣dτ
若要使y（t）有界，则充要条件为∣g(τ)∣|g(\tau)|∣g(τ)∣绝对可积

不可积例子：g(t)=1t−1g(t)=\frac{1}{t-1}g(t)=t−11
对于CLTIS，满足BIBO则只有左半平面极点：

假设传递函数是冲激响应的Laplace变换，于是：
G(s)=∫0∞g(t)e−stdt⇒∣G(s)∣≤∫0∞∣g(t)∣⋅∣e−st∣dt=∫0∞∣g(t)∣⋅∣e−σt∣dt⟹ifσ≥0,∣G(s)∣∣s=σ+iw→∞≤∫0∞∣g(t)∣⋅∣e−σt∣dt≤∫0∞∣g(t)∣dtG(s)=\int_0^\infty g(t)e^{-st}dt\Rightarrow|G(s)|\le\int_0^\infty |g(t)|\cdot|e^{-st}|dt=\int_0^\infty|g(t)|\cdot|e^{-\sigma t}|dt\\ \Longrightarrow if \quad\sigma \ge 0,\quad |G(s)||_{s=\sigma+iw}\rightarrow\infty\le\int^\infty_0|g(t)|\cdot|e^{-\sigma t}|dt\le\int_0^\infty|g(t)|dt G(s)=∫0∞g(t)e−stdt⇒∣G(s)∣≤∫0∞∣g(t)∣⋅∣e−st∣dt=∫0∞∣g(t)∣⋅∣e−σt∣dt⟹ifσ≥0,∣G(s)∣∣s=σ+iw→∞≤∫0∞∣g(t)∣⋅∣e−σt∣dt≤∫0∞∣g(t)∣dt

∣g(t)∣|g(t)|∣g(t)∣无界，与BIBO稳定矛盾，所有只有当σ<0\sigma<0σ<0，满足条件。

1.1.2 零输入稳定（渐近稳定）

定义：当t趋近于无穷，由初始条件产生的响应趋于0。
稳定充分必要条件：
- 对于∀si,Re(si)<0时，CLTIS渐近稳定\forall s_i,Re(s_i)<0时，CLTIS渐近稳定∀si,Re(si)<0时，CLTIS渐近稳定
- Re(si)>0∣∣有重虚根，CLTIS不稳定Re(s_i)>0||\text{有重虚根}，CLTIS不稳定Re(si)>0∣∣有重虚根，CLTIS不稳定
- 仅存在单重虚根，其他Re(sj)<0Re(s_j)<0Re(sj)<0,LTIS临界定界。
相关例子：

1.1.3 稳定性相关说明

对于LTIS，BIBO、零输入稳定都要求特征值均位于复平面左边
对于LTIS，稳定性只取决于系统固有性质（特征值），与外界条件无关。
稳定性具有一个局部特性（多个稳定点），但只在时变系统和非线性系统体现，时不变系统是全局的。

2. Routh-Hurwitz判据

2.1 CLTIS稳定的必要条件

系统特征方程所有系数大于0

2.2 Routh判据

列些Routh表

snanan−2an−4…s^n\quad a_n \quad a_{n-2}\quad a_{n-4} \quad \dotssnanan−2an−4…

sn−1an−1an−3an−5…s^{n-1}\quad a_{n-1} \quad a_{n-3}\quad a_{n-5} \quad \dotssn−1an−1an−3an−5…

sn−2b1b2b3…s^{n-2}\quad b_1 \quad b_2\quad b_3 \dotssn−2b1b2b3…

sn−3c1c2…s^{n-3}\quad c_1 \quad c_2\quad \dotssn−3c1c2…

…………

s0h1s^0 \quad h_1s0h1
常规计算
b1=−[anan−2an−1an−3]an−1b2=−[anan−4an−1an−5]an−1c1=−[an−1an−3b1b2]b1c2=−[an−1an−5b1b3]b1b_1=-\frac{ \begin{bmatrix} a_{n}& a_{n-2} \\ a_{n-1}& a_{n-3} \end{bmatrix} } {a_{n-1}} \quad b_2=-\frac{ \begin{bmatrix} a_{n}& a_{n-4} \\ a_{n-1}& a_{n-5} \end{bmatrix} } {a_{n-1}}\\ c_1=-\frac{ \begin{bmatrix} a_{n-1}& a_{n-3} \\ b_1&b_2 \end{bmatrix} } {b_1} \quad c_2=-\frac{ \begin{bmatrix} a_{n-1}& a_{n-5} \\ b_1&b_3 \end{bmatrix} } {b_1} b1=−an−1[anan−1an−2an−3]b2=−an−1[anan−1an−4an−5]c1=−b1[an−1b1an−3b2]c2=−b1[an−1b1an−5b3]
判断稳定方法：

第一列系数符号改变次数，就是特征根位于右半s平面的个数

稳定充要条件：表中第一列系数全大于0

2.3 相关应用

（1）首列系数为0

利用小ϵ\epsilonϵ法代替零值项，按常规方法继续求解。
若第一列全为正数，系统也不是渐近稳定，而是存在纯虚根，临界稳定

（2）某行系数全为0

表明s平面有对称于原点的实根，或共轭虚根

取全为0的前一行，以其系数为辅助方程（只取偶次）
对辅助方程求导，系数代替全为0行
继续常规步骤
解辅助方程得到对称根

（3）相关稳定性问题

利用换元的思想。

如求实部均小于2，则设u=s+2代入方程，将u当作方程变量，进行求解。

2.4 Hurwitz判据

判据：各阶主子式大于0

=s+2代入方程，将u当作方程变量，进行求解。

2.4 Hurwitz判据

[外链图片转存中…(img-JIuo2Ql8-1648098107527)]

判据：各阶主子式大于0

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2. Routh-Hurwitz判据

2.1 CLTIS稳定的必要条件

2.2 Routh判据

2.3 相关应用

（1）首列系数为0

（2）某行系数全为0

（3）相关稳定性问题

2.4 Hurwitz判据

2.4 Hurwitz判据

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