自控原理学习笔记
自控原理学习笔记专栏

文章目录

3. 环路分析
- 3.1环路分析基本思想：
- 3.2 稳定程度的性能指标（相对稳定）
- 3.3 环路整形
4.Nyquist判据
- 4.1 与幅角原理关系
- 4.2 补圆
- 4.3判别方法
- 4.4 相关例子
5.非线性系统稳定性及自振分析
- 5.1 将Nyquist判据应用到非线性系统判定
- 5.2 自振必要条件
- 5.2判断自激振荡的步骤
6.Bode图稳定性分析
- 6.1 与Nyquist对应关系
- 6.2 相频特性-穿越次数
- 6.3 计算相关裕度
7.计算稳定性步骤

环路分析

3. 环路分析

3.1环路分析基本思想：

不同频率正弦信号在线性系统中的传输，输出被放大、缩小还是自持振荡完全取决于频率特性。
记（-1，i0）为临界点。相角交越频率为当相角为-180°时的频率，此时若幅值为1则为自激条件。
简化Nyquist判据：

如果∣L(iwpc)>1∣|L(iw_{pc})>1|∣L(iwpc)>1∣，环路上wpcw_{pc}wpc信号被放大，闭环系统不稳定。

如过∣L(iwpc)<1∣|L(iw_{pc})<1|∣L(iwpc)<1∣，环路上wpcw_{pc}wpc信号被衰减，闭环系统稳定。

3.2 稳定程度的性能指标（相对稳定）

增益裕度

gm=1∣L(iwpc)∣要求:gm≥2g_m=\frac{1}{|L(iw_{pc})|} \\ \text{要求:}\quad g_m \ge 2 gm=∣L(iwpc)∣1要求:gm≥2
相角裕度
φm=180°+∠L(iwc)φm=30°∼60°\varphi_m = 180\degree +\angle L(iw_c) \\ \varphi_m = 30\degree \sim 60\degree φm=180°+∠L(iwc)φm=30°∼60°

模裕度(当有谐振需要考虑模裕度)
sm=minw∣L(iw)+1∣=1maxw∣S(iw)∣=1Mss_m = \underset{w}{min}|L(iw)+1|=\frac{1}{\underset{w}{max}|S(iw)|}=\frac{1}{M_s} sm=wmin∣L(iw)+1∣=wmax∣S(iw)∣1=Ms1

3 裕度求法

3.3 环路整形

对于开环稳定、闭环不稳定的系统，通过降低开环增益可以避开临界点，使系统闭环稳定
通过控制器给系统引入开环零极点，改变频率特性的形状，绕开临界点。

4.Nyquist判据

4.1 与幅角原理关系

（1）讨论的闭域限定了右半平面，复变量的在右半平面的变化等价于频率从负无穷到正无穷

（2）闭环正方向的路径方向改为顺时针

（3）限定讨论的复变函数1+L，其零点就是闭环传递函数的极点，其极点就是开环传函的极点

（4）从1+L到L也就是将临界点原点变到（-1，i0）

4.2 补圆

4.3判别方法

设开环传递函数L(s)L(s)L(s)右半复平面的极点数为P，

Nyquist曲线顺时针围绕（-1，i0）圈数为wnw_nwn,则闭环系统在右半复平面的极点数为N=wn+PN=w_n+PN=wn+P
闭环系统稳定的充要条件是N=0，即Nyquist曲线围绕（-1，i0）的逆时针圈数为P
相关说明：L（s）若具有RHP极点，闭环系统稳定必要条件∣L(iwpc)∣>1|L(iw_{pc})|>1∣L(iwpc)∣>1，即必须要绕（-1，i0）。

4.4 相关例子

开环极点数	0	0	2
顺时针围绕圈数	1	1	-2
闭环极点	0稳定	0稳定	0稳定

n个积分环节补圆NπN\piNπ

系统增加开环极点，即将系统相角变大，使之不用穿越至第二象限，从而达到使wn=0w_n=0wn=0.

存在纯虚极点的情况：

5.非线性系统稳定性及自振分析

5.1 将Nyquist判据应用到非线性系统判定

利用1+N(A)G(s)=01+N(A)G(s)=01+N(A)G(s)=0，得到G(s)=−1N(A)G(s)=-\frac{1}{N(A)}G(s)=−N(A)1，将线性系统中的Nyquist判据移植到非线性系统中，临界点-1变成了临界线−1N(A)-\frac{1}{N(A)}−N(A)1

5.2 自振必要条件

负倒曲线–1N(A)–\frac{1}{N(A)}–N(A)1与G(iw)G(iw)G(iw)有交点。在交点处于临界稳定状态，满足N(A)∗G(iw)=−1N(A)*G(iw)=-1N(A)∗G(iw)=−1即：
{∣N(A)∣⋅∣G(iw)∣=1∠N(A)+∠G(iw)=−180°\left\{\begin{matrix} |N(A)|\cdot|G(iw)|=1 \\ \angle N(A)+\angle G(iw)=-180\degree \end{matrix}\right. {∣N(A)∣⋅∣G(iw)∣=1∠N(A)+∠G(iw)=−180°

5.2判断自激振荡的步骤

在同一个平面上，画开环传函与非线性环节的负倒曲线；
根据非线性系统自振分析划分稳定区与不稳定区域，观察两曲线间的关系，包围区域为不稳定区域;
若存在从沿着w增大方向，有从不稳定区域到稳定区域，则存在稳定的自振点；若存在自振，再依1+N(A)G(iω)=0列写两个方程可求出A和ω。

6.Bode图稳定性分析

6.1 与Nyquist对应关系

Nyquist图	Bode图
单位圆	幅相曲线0dB线
单位圆外部和内部	幅相曲线上侧和下侧
负实轴	相角为-180度曲线
wpc和wcw_{pc}和w_cwpc和wc对应关系如下	wpc和wcw_{pc}和w_cwpc和wc对应关系如下
积分环节nyquist补圆νπ\nu\piνπ	相频曲线向上补νπ2\nu\frac{\pi}{2}ν2π
等幅振荡1(s2+wn2)2\frac{1}{(s^2+w_n^2)^2}(s2+wn2)21,幅相半闭合曲线（Nyquist的一半）需要补νπ\nu \piνπ从wn−到wn+w_n^-到w_n^+wn−到wn+	相频向下补νπ\nu \piνπ

6.2 相频特性-穿越次数

限定：正负穿越一定要在穿越频率以内
注意补相角后可能存在半穿越，-180往上为正半穿越，往下为负半穿越

6.3 计算相关裕度

7.计算稳定性步骤

计算wpcw_{pc}wpc：利用各个环节贡献相角量进行计算，避免使用将iw代入开环传递函数进行化简。

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