自控原理学习笔记
自控原理学习笔记专栏

文章目录

1.频率特性函数
- 1.1 图形表示方法：
- 1.2 零极点位置和暂态增益图
- - 1.2.1 复轨迹曲线
  - 1.2.3 例子
- 1.3 计算系统响应
2.开环频率特性幅相曲线
- 2.1 典型环节幅相曲线-Nyquist图
- 2.2一般特性频率曲线
- - 2.2.1 开环传递函数：
  - 2.2.2 幅相曲线的绘制：
  - 2.2.3 特征点
  - 2.2.4 例子
3.开环对数频率特性
- 3.1Bode图概念
- 3.2 典型环节Bode图
- 3.3 Bode图渐近线画法：
- 3.4最小相位系统：
- 3.5举例

1.频率特性函数

对于稳定的线性时不变系统（LTI），

频率特性：
- 系统稳态输出与输入信号的复数比
- 系统输出信号与输入信号Fouier变换之比
对于稳定的LTI，若R（t）为正弦信号，则y（t）为同频率正弦信号。
物理意义：表征系统对不同频率正弦输入响应特性
频率特性函数实质：复变函数

幅频：A(w)=∣G(iw)∣相频：φ(w)=argG(iw)幅频：A(w)=|G(iw)|\\ 相频：\varphi (w)= arg G(iw) 幅频：A(w)=∣G(iw)∣相频：φ(w)=argG(iw)

1.1 图形表示方法：

Nyquist图----特点：
1）具有对称性； 2）已知开环频率特性L(iω)，可令w由小到大取值，算出幅值 | L(iω )| 和相位∠L (iω) 的相应值，在 L 平面描点绘图，可以得到开环幅相曲线。

Bode 图----特点：
1）可展宽幅频范围； 2）可简化作图过程； 3）便于图解应用； 4）难以应用于系统稳定性定理的证明

Nichols图---- 特点：
1）系统增益的改变，不影响相频特性，故增益改变时，对数幅相特性只是简单的向上平移或向下平移，而曲线形状保持不变； 2）G(iω)和1/G(iω)的对数幅相特性图相对原点中心对称，即幅值和相位均相差一个符号； 3）利用对数幅相特性图，很容易由开环频率特性求闭环频率特性，可方便地用于确定闭环系统的稳定性及解决系统的综合校正问题。

1.2 零极点位置和暂态增益图

1.2.1 复轨迹曲线

按广义频率特性，令s=iw，可得到开环系统的复轨迹曲线，可表示为：

极点矢量pip_ipi：分母因式（iw-p_i）是s平面从极点指向虚轴上iw的矢量。
零点矢量zjz_jzj: 分子因式（iw-z_j）是s平面从零点指向虚轴上iw点的矢量。

∣L(iw)∣=K1∏j=1mNj/∏i=1nMiφ(w)=∑j=1mθj−∑i=1iμi\left | L(iw)\right | =K_1 \prod_{j=1}^{m}N_j / \prod_{i=1}^{n}M_i \\ \varphi(w) =\sum_{j=1}^{m} \theta _j-\sum_{i=1}^{i} \mu _i ∣L(iw)∣=K1j=1∏mNj/i=1∏nMiφ(w)=j=1∑mθj−i=1∑iμi
幅频特性：零点矢量模的乘积除以极点矢量模的乘积，再乘上暂态增益K1K_1K1

1.2.3 例子

画出频率特性G(iω)=(iω+3)/[(iω+2)(iω+4)]在频率为1Hz时的极点矢量和零点矢量，并计算该频率下的幅频与相频。

1.3 计算系统响应

2.开环频率特性幅相曲线

2.1 典型环节幅相曲线-Nyquist图

2.2一般特性频率曲线

2.2.1 开环传递函数：

幅频：|L(iw)|
相频：

2.2.2 幅相曲线的绘制：

开环幅相曲线的起点（w=0+0^+0+）和终点（w=∞\infty∞）
L(i0+)={Kei0,ν=0∞e−iν×90,ν>0L(i∞)=0e−i(n−m)90当没有右半平面的开环零极点时取小正数ϵ∠L(iϵ)=−ν×90+∑arctan⁡τkϵ−∑arctan⁡Tjϵ≈−ν×90+(∑τk−∑Tj)ϵL(i0^+)=\left\{\begin{matrix} Ke^{i0}, \quad \nu =0\\ \infty e^{-i\nu \times 90 },\quad \nu >0 \end{matrix}\right. \\ L(i\infty )=0e^{-i(n-m)90} \\ 当没有右半平面的开环零极点时\\取小正数\epsilon \quad \angle L(i\epsilon )=-\nu \times 90+\sum \arctan \tau_k\epsilon -\sum \arctan T_j\epsilon \\ \approx -\nu \times 90+(\sum \tau_k-\sum T_j)\epsilon L(i0+)={Kei0,ν=0∞e−iν×90,ν>0L(i∞)=0e−i(n−m)90当没有右半平面的开环零极点时取小正数ϵ∠L(iϵ)=−ν×90+∑arctanτkϵ−∑arctanTjϵ≈−ν×90+(∑τk−∑Tj)ϵ
开环幅相曲线与负实轴的交点，交点坐标为：
ReL(iw)=L(iw)令虚部为0ReL(iw) = L(iw) \quad 令虚部为0 ReL(iw)=L(iw)令虚部为0
开环幅相曲线的变化范围（象限性，单调性）

2.2.3 特征点

相位穿越频率:首次使得相位为-180°。
∠L(iwpc)=−180°\angle L(iw_{pc})=-180° ∠L(iwpc)=−180°
增益穿越频率wcw_cwc：首次使得增益为1
∣L(iwc)∣=1|L(iw_c)|=1 ∣L(iwc)∣=1

2.2.4 例子

3.开环对数频率特性

3.1Bode图概念

Bode图由对数幅频特性和相频特性构成。通常以分贝值作为纵坐标。
∣L(iw)∣dB=20lg⁡∣L(iw)∣(dB)|L(iw)|_{dB}=20\lg^{|L(iw)|}(dB) ∣L(iw)∣dB=20lg∣L(iw)∣(dB)

3.2 典型环节Bode图

比例环节

频率特性为∣G(iw)∣=k|G(iw)|=k∣G(iw)∣=k

对数幅频特性： 20lg⁡∣G(iw)∣=20lg⁡k20\lg{|G(iw)|}=20\lg^k20lg∣G(iw)∣=20lgk

相频特性： ∠G(iw)=0°\angle G(iw)=0\degree∠G(iw)=0°
微分环节

G(iw)=iTdwG(iw)=iT_dwG(iw)=iTdw

对数幅频特性：20lg⁡∣G(iw)∣=20lg⁡Tdw20\lg|G(iw)|=20\lg{T_dw}20lg∣G(iw)∣=20lgTdw

相频特性：∠G(iw)=90°\angle G(iw) = 90\degree∠G(iw)=90°

积分环节

G(iw)=1iTiwG(iw)=\frac{1}{iT_iw}G(iw)=iTiw1

对数幅频特性：20lg∣G(iw)∣=−20lg⁡(Tiw)20lg|G(iw)|=-20\lg(T_iw)20lg∣G(iw)∣=−20lg(Tiw)

相频特性：∠G(iw)=−90°\angle G(iw) =-90\degree∠G(iw)=−90°
惯性环节

G(iw)=1iTw+1G(iw)=\frac{1}{iTw+1}G(iw)=iTw+11

对数幅频特性：20lg∣G(iw)∣=−10lg⁡[1+(wT)2]20lg|G(iw)|=-10\lg[1+(wT)^2]20lg∣G(iw)∣=−10lg[1+(wT)2]

相频特性：∠G(iw)=−arctan⁡wT\angle G(iw)= -\arctan wT∠G(iw)=−arctanwT
一阶微分环节

G(iw)=1+iTwG(iw)=1+iTwG(iw)=1+iTw

对数幅频特性：20lg∣G(iw)∣=10lg⁡[1+(wT)2]20lg|G(iw)|=10\lg[1+(wT)^2]20lg∣G(iw)∣=10lg[1+(wT)2]

相频特性：∠G(iw)=arctan⁡wT\angle G(iw)=\arctan wT∠G(iw)=arctanwT
二阶振荡环节

G(iw)=1(iTw)2+2ζiTw+1=11−(w/wn)2+i2ζw/wnG(iw)=\frac{1}{(iTw)^2+2\zeta iTw+1}=\frac{1}{1-(w/w_n)^2+i2\zeta w/w_n}G(iw)=(iTw)2+2ζiTw+11=1−(w/wn)2+i2ζw/wn1

对数幅频特性：20lg∣G(iw)∣=−10lg⁡{[1−(w/wn)2]2+(2ζw/wn)2}20lg|G(iw)|=-10\lg \{[1-(w/w_n)^2]^2+(2\zeta w/w_n)^2\}20lg∣G(iw)∣=−10lg{[1−(w/wn)2]2+(2ζw/wn)2}

相频特性：
∠G(iw)={−arctan⁡2ζw/wn1−w2/wn2,w<wn−180°−arctan⁡2ζw/wn1−w2/wn2,w>wn\angle G(iw)=\left \{\begin{matrix} -\arctan\frac{2\zeta w/w_n}{1-w^2/w_n^2},\quad w<w_n \\ -180\degree -\arctan\frac{2\zeta w/w_n}{1-w^2/w_n^2},\quad w>w_n \\ \end{matrix} \right. ∠G(iw)={−arctan1−w2/wn22ζw/wn,w<wn−180°−arctan1−w2/wn22ζw/wn,w>wn
二阶微分环节

G(iω)=1−(ω/ωn)2+i2ζω/ωnG(iω)=1−(ω/ω_n)^2+i2ζω/ω_nG(iω)=1−(ω/ωn)2+i2ζω/ωn

对数幅频特性：20lg∣G(iw)∣=10lg⁡{[1−(ω/ωn)2]2+(2ζw/wn)220lg|G(iw)|=10 \lg \{[1−(ω/ω_n)^2]^2+(2\zeta w/w_n)^220lg∣G(iw)∣=10lg{[1−(ω/ωn)2]2+(2ζw/wn)2

相频特性：∠G(iw)={arctan⁡2ζw/wn1−w2/wn2,w<wn180°+arctan⁡2ζw/wn1−w2/wn2,w>wn\angle G(iw)=\left \{\begin{matrix} \arctan\frac{2\zeta w/w_n}{1-w^2/w_n^2},\quad w<w_n \\ 180\degree +\arctan\frac{2\zeta w/w_n}{1-w^2/w_n^2},\quad w>w_n \\ \end{matrix} \right.∠G(iw)={arctan1−w2/wn22ζw/wn,w<wn180°+arctan1−w2/wn22ζw/wn,w>wn
延迟环节

G(iw)=e−iτwG(iw)=e^{-i\tau w}G(iw)=e−iτw

对数幅频特性：$20lg|G(iw)|=0 $

相频特性：∠G(iw)=−τw\angle G(iw)=-\tau w∠G(iw)=−τw

3.3 Bode图渐近线画法：

将开环传递函数写成时间常数标准式，确定系统开环增益K，把各典型环节的转折频率依次标在频率轴。
L(s)=K1∏j=1m(s−zj)∏i=1n(s−pi)L(s)=\frac{K_1\prod^m_{j=1}(s-z_j)}{\prod^n_{i=1}(s-p_i)} L(s)=∏i=1n(s−pi)K1∏j=1m(s−zj)
由于系统低频段渐近线的频率特性为K/(iw)νK/(iw)^\nuK/(iw)ν,因此，过(Kν,0)或(1,20lg⁡K)(\sqrt[\nu]K,0)或(1,20\lg K)(νK,0)或(1,20lgK)点绘制斜率为−ν×20dB/dec-\nu \times 20dB/dec−ν×20dB/dec的直线为低频段渐近线（ν为积分环节数\nu为积分环节数ν为积分环节数）纯积分无转折频率
沿频率增大方向没遇到一个转折频率改变一次斜率，遇到分子一阶环节，频率+20dB/dec，二阶+40dB/dec，同理分母为负。渐近线最后一段斜率为-20（n-m）dB/dec.
绘制相频特性曲线，分别绘制各环节相频曲线，最后进行叠加

3.4最小相位系统：

最小相位系统：没有开环RHP¹零点和极点的系统。

非最小相位系统：含有开环RHP零点、极点，其相位滞后较大

3.5举例

Right Half Plane ↩︎

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