C：求两个数的最大公约数详解（硬核算法，辗转相除法，更相减损法）

最大公因数，也称最大公约数、最大公因子。

定义：
指两个或多个整数共有约数中最大的一个。

a，b的最大公约数记为（a，b），同样的，a，b，c的最大公约数记为（a，b，c），多个整数的最大公约数也有同样的记号。
求最大公约数有多种方法，常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法。与最大公约数相对应的概念是最小公倍数，a，b的最小公倍数记为[a，b]。

解法一：最普通的算法（十分硬核）
程序代码：

int main()
{int i, a, b;int max = 1, min;printf("请输入两个数：");scanf("%d%d", &a, &b);if (a > b) //判断输入两个个数的大小{min = b;}else{min = a;}for (i = 2; i <= min; i++){if (a%i == 0 && b%i == 0){max = i;}else{continue;}}printf("最大公约数是%d\n", max);system("pause");return 0;
}

质因数分解法：
把每个数分别分解质因数，再把各数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最大公约数。

例如：求24和60的最大公约数，先分解质因数，得24=2×2×2×3，60=2×2×3×5，24与60的全部公有的质因数是2、2、3，它们的积是2×2×3=12，所以，（24，60）=12。
把几个数先分别分解质因数，再把各数中的全部公有的质因数和独有的质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最小公倍数。

但是质因数分解法有一个最大的缺陷：分解质因数只针对合数。
所以此博客不讨论！因为用户输入的时候不一定清楚输入的数是不是合数！

短除法：
短除法求最大公约数，先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公约数。

短除法的本质就是质因数分解法。所以此博客不讨论！

解法二：辗转相除法
辗转相除法是求两个自然数的最大公约数的一种方法，也叫欧几里德算法。
例如：求（319，377）：
∵ 319÷377=0（余319）
∴（319，377）=（377，319）；
∵ 377÷319=1（余58）
∴（377，319）=（319，58）；
∵ 319÷58=5（余29）
∴ （319，58）=（58，29）；
∵ 58÷29=2（余0）
∴ （58，29）= 29；
∴ （319，377）=29。

用辗转相除法求几个数的最大公约数，可以先求出其中任意两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数，依次求下去，直到最后一个数为止。最后所得的那个最大公约数，就是所有这些数的最大公约数。

程序代码：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>int main()
{int a, b, c;printf("请输入两个数：");scanf("%d%d", &a, &b);while ( c=a % b ){a = b;b = c;}printf("最大公约数是%d\n", b);system("pause");return 0;
}

代码生成图：

解法三：更相减损法
更相减损法：也叫更相减损术，是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。
《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”
翻译成现代语言如下：
第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。
则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。
其中所说的“等数”，就是最大公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法。所以更相减损法也叫等值算法。

程序代码：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>int main(){int a, b;int count = 1;printf("请输入两个数：");scanf("%d%d", &a, &b);while (a % 2 == 0 && b % 2 == 0) {a /= 2;b /= 2;count *= 2;}while (a != b){if (a > b)a -= b;elseb -= a;}printf("最大公约数是%d\n", b*count);system("pause");return 0;
}

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