二阶线性偏微分方程的分类和标准式 | 椭圆型、抛物线形、双曲线型

一般地，n个自变量的二阶线性偏微分方程可表示为
∑i,j=1naij(x1,⋅⋅⋅,xn)∂2u∂xi∂xj+∑j=1nbj(x1,⋅⋅⋅,xn)∂u∂xj+c(x1,⋅⋅⋅,xn)u=f(x1,⋅⋅⋅,xn)(1)\sum_{i,j=1}^na_{ij}(x_1,···,x_n)\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\partial x_j}+\sum_{j=1}^nb_j(x_1,···,x_n)\frac{\partial u}{\partial x_j}+c(x_1,···,x_n)u=f(x_1,···,x_n) \tag{1} i,j=1∑naij(x1,⋅⋅⋅,xn)∂xi∂xj∂2u+j=1∑nbj(x1,⋅⋅⋅,xn)∂xj∂u+c(x1,⋅⋅⋅,xn)u=f(x1,⋅⋅⋅,xn)(1)
当系数aij,bj,ca_{ij},b_j,caij,bj,c均为常数时，称为常系数线性偏微分方程，否则为变系数的，且总可假定aij=ajia_{ij}=a_{ji}aij=aji。方程中不含未知函数的项f(x1,⋅⋅⋅,xn)f(x_1,···,x_n)f(x1,⋅⋅⋅,xn)称为非齐次项，当f≡0f\equiv 0f≡0时方程为二阶齐次线性偏微分方程，否则为非齐次的。

作为（1）式的特殊情况，一维波动方程能分解为两个一阶线性偏微分方程，从而利用特征线求出其通解。对于一般的二阶线性偏微分方程（1），接下来将通过自变量的变量代换化简方程中的二阶偏导数部分，并用方程在变量代换下的不变性对方程进行分类。这里只讨论两个自变量的情形。

1. 特征方程和特征线

两个自变量的二阶齐次线性偏微分方程为
a11∂2u∂x2+2a12∂2u∂x∂y+a22∂2u∂y2+b1∂u∂y+b2∂u∂y+cu=0(2)a_{11}\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+2a_{12}\frac{\partial^2u}{\partial x\partial y}+a_{22}\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+b_1\frac{\partial u}{\partial y}+b_2\frac{\partial u}{\partial y}+cu=0 \tag{2} a11∂x2∂2u+2a12∂x∂y∂2u+a22∂y2∂2u+b1∂y∂u+b2∂y∂u+cu=0(2)
其中，a11,a12,a22a_{11},a_{12},a_{22}a11,a12,a22不同时为0，这里略写了已知函数aij,bj(i,j=1,2)a_{ij},b_j(i,j=1,2)aij,bj(i,j=1,2)和c的自变量。

设有自变量的变量代换
{ξ=φ(x,y),η=ψ(x,y),\begin{cases} \xi=\varphi(x,y), \\ \eta=\psi(x,y), \end{cases} {ξ=φ(x,y),η=ψ(x,y),
其中，函数φ,ψ\varphi,\psiφ,ψ有二阶连续偏导，雅可比（Jacobi）行列式
J=∂(φ,ψ)∂(x,y)=∣∂φ∂x∂φ∂y∂ψ∂x∂ψ∂y∣≠0J=\frac{\partial (\varphi,\psi)}{\partial(x,y)}= \begin{vmatrix} \frac{\partial \varphi}{\partial x} & \frac{\partial \varphi}{\partial y} \\ \frac{\partial \psi}{\partial x} & \frac{\partial \psi}{\partial y} \end{vmatrix} \neq 0 J=∂(x,y)∂(φ,ψ)=∣∣∣∣∣∂x∂φ∂x∂ψ∂y∂φ∂y∂ψ∣∣∣∣∣=0
以保证函数φ,ψ\varphi,\psiφ,ψ相互独立，有反函数存在。未知函数u作为新的自变量ξ,η\xi,\etaξ,η的函数仍记为u(ξ,η)u(\xi,\eta)u(ξ,η)，利用复合函数求导的链式法则，可将方程（2）变成一个新的二阶线性偏微分方程
A11∂2u∂ξ2+2A12∂2u∂ξ∂η+A22∂2u∂η2+B1∂u∂ξ+B2∂u∂η+Cu=0(a)A_{11}\frac{\partial^2u}{\partial \xi^2}+2A_{12}\frac{\partial^2u}{\partial \xi\partial \eta}+A_{22}\frac{\partial^2u}{\partial \eta^2}+B_1\frac{\partial u}{\partial \xi}+B_2\frac{\partial u}{\partial \eta}+Cu=0 \tag{a} A11∂ξ2∂2u+2A12∂ξ∂η∂2u+A22∂η2∂2u+B1∂ξ∂u+B2∂η∂u+Cu=0(a)
其中，二阶偏导数项的系数
A11=a11(∂φ∂x)2+2a12∂φ∂x∂φ∂y+a22(∂φ∂y)2,A12=a11∂φ∂x∂ψ∂x+2a12(∂φ∂x∂φ∂y+∂φ∂y∂φ∂x)+a22∂φ∂y∂ψ∂y(3)A11=a11(∂ψ∂x)2+2a12∂ψ∂x∂ψ∂y+a22(∂ψ∂y)2A_{11}=a_{11}(\frac{\partial \varphi}{\partial x})^2+2a_{12}\frac{\partial \varphi}{\partial x}\frac{\partial \varphi}{\partial y}+a_{22}(\frac{\partial \varphi}{\partial y})^2 ,\\ A_{12}=a_{11}\frac{\partial \varphi}{\partial x}\frac{\partial \psi}{\partial x}+2a_{12}(\frac{\partial \varphi}{\partial x}\frac{\partial \varphi}{\partial y}+\frac{\partial \varphi}{\partial y}\frac{\partial \varphi}{\partial x})+a_{22}\frac{\partial \varphi}{\partial y}\frac{\partial \psi}{\partial y} \quad \quad (3)\\ A_{11}=a_{11}(\frac{\partial \psi}{\partial x})^2+2a_{12}\frac{\partial \psi}{\partial x}\frac{\partial \psi}{\partial y}+a_{22}(\frac{\partial \psi}{\partial y})^2 A11=a11(∂x∂φ)2+2a12∂x∂φ∂y∂φ+a22(∂y∂φ)2,A12=a11∂x∂φ∂x∂ψ+2a12(∂x∂φ∂y∂φ+∂y∂φ∂x∂φ)+a22∂y∂φ∂y∂ψ(3)A11=a11(∂x∂ψ)2+2a12∂x∂ψ∂y∂ψ+a22(∂y∂ψ)2
其他系数可推导而得。

为化简方程中的二阶偏导数部分，由（3）式可见，若选取φ(x,y)\varphi(x,y)φ(x,y)或ψ(x,y)\psi(x,y)ψ(x,y)是一阶非线性偏微分方程
a11(∂z∂x)2+2a12∂z∂x∂z∂y+a22(∂z∂y)2=0(4)a_{11}(\frac{\partial z}{\partial x})^2+2a_{12}\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial z}{\partial y}+a_{22}(\frac{\partial z}{\partial y})^2=0 \tag{4} a11(∂x∂z)2+2a12∂x∂z∂y∂z+a22(∂y∂z)2=0(4)
的解，则新方程中A11A_{11}A11与A22A_{22}A22至少有一个为0，方程化简。

类似于之前对一阶线性偏微分方程的讨论，一阶偏微分方程(4)的求解归结为一阶常微分方程
a11(dy)2−2a12dxdy+a22(dx)2=0(5)a_{11}(dy)^2-2a_{12}dxdy+a_{22}(dx)^2=0 \tag{5} a11(dy)2−2a12dxdy+a22(dx)2=0(5)
的求解。相应地，有

定理1：若φ(x,y)=h\varphi(x,y)=hφ(x,y)=h（h为常数）是常微分方程（5）的隐式通解（积分曲线族），则z=φ(x,y)z=\varphi(x,y)z=φ(x,y)是偏微分方程（4）的解。定理的逆命题也成立。

上述定理揭示了常微分方程（5）与二阶线性偏微分方程（2）之间的关系，提供了化简二阶线性偏微分方程的具体方法。称一阶常微分方程（5）为二阶线性偏微分方程（2）的特征方程，称特征方程的积分曲线为方程（2）的特征曲线。

2. 方程的分类、化简和标准形

特征方程（4）的解取决于它的判别式
Δ=a122−a11a22\Delta= a_{12}^2-a_{11}a_{22} Δ=a122−a11a22
由（3）式可推出，二阶线性偏微分方程（2）经过变量代换后得到的新方程式的判别式为
A122−A11A22=J2ΔA_{12}^2-A_{11}A_{22}=J^2\Delta A122−A11A22=J2Δ
当Jacobi行列式J≠0J\neq 0J=0时，在自变量的变量代换下，判别式Δ\DeltaΔ的符号保持不变，反映了方程的本性，据此可将方程分类。

在(x0,y0)(x_0,y_0)(x0,y0)点，若Δ>0\Delta>0Δ>0，则称二阶线性偏微分方程（2）式在(x0,y0)(x_0,y_0)(x0,y0)点为双曲型的；若Δ=0\Delta=0Δ=0则称（2）式在(x0,y0)(x_0,y_0)(x0,y0)为抛物型的；若Δ<0\Delta<0Δ<0，则称（2）式在(x0,y0)(x_0,y_0)(x0,y0)为椭圆型的。若在平面区域D内有Δ>0\Delta>0Δ>0或Δ=0\Delta=0Δ=0，或Δ<0\Delta<0Δ<0，则相应地称方程（2）在区域D内为双曲型、抛物型或椭圆型方程。若方程在区域D的一部分是双曲型的，另一部分是椭圆型的，而在交界线上是抛物型的，则称该方程在D内是混合型方程。

易见，弦振动方程
∂2u∂t2=a2∂2u∂x2\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2} ∂t2∂2u=a2∂x2∂2u
的Δ≡a2>0\Delta\equiv a^2>0Δ≡a2>0

一维热传导方程
∂u∂t=a2∂2u∂x2\frac{\partial u}{\partial t}=a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2} ∂t∂u=a2∂x2∂2u
的Δ≡0\Delta \equiv 0Δ≡0

二维拉普拉斯方程
∂2u∂x2+∂2u∂y2=0\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0 ∂x2∂2u+∂y2∂2u=0
的Δ=−1<0\Delta=-1<0Δ=−1<0，它们在全平面上依次为双曲型方程、抛物型方程和椭圆型方程。

对于三种类型的二阶线性偏微分方程，可按以下步骤化简。

当Δ>0\Delta>0Δ>0，特征方程（5）可分解为两个一阶常微分方程。不妨设a11≠0a_{11}\neq 0a11=0，此时，有
dydx=a12+Δa11,dydx=a12−Δa11\frac{dy}{dx}=\frac{a_{12}+\sqrt{\Delta}}{a_{11}},\quad \frac{dy}{dx}=\frac{a_{12}-\sqrt{\Delta}}{a_{11}} dxdy=a11a12+Δ,dxdy=a11a12−Δ
解得两族特征线
φ(x,y)=h1,ψ(x,y)=h2\varphi(x,y)=h_1,\quad \psi(x,y)=h_2 φ(x,y)=h1,ψ(x,y)=h2
令ξ=φ(x,y),η=ψ(x,y)\xi=\varphi(x,y),\eta =\psi(x,y)ξ=φ(x,y),η=ψ(x,y)，由定理1和公式（3）知A11=A22=0A_{11}=A_{22}=0A11=A22=0，新方程（a）有简单形式
∂2u∂ξ∂η+12A12(B1uξ+B2uη+Cu)=0(7)\frac{\partial^2u}{\partial \xi\partial \eta}+\frac{1}{2A_{12}}(B_1u_{\xi}+B_2u_{\eta}+Cu)=0 \tag{7} ∂ξ∂η∂2u+2A121(B1uξ+B2uη+Cu)=0(7)
因为沿两族特征线分别有
∂φ∂xdx+∂φ∂ydy=0,∂ψ∂xdx+∂ψ∂ydy=0\frac{\partial \varphi}{\partial x}dx+\frac{\partial \varphi}{\partial y}dy=0, \quad \frac{\partial \psi}{\partial x}dx+\frac{\partial \psi}{\partial y}dy=0 ∂x∂φdx+∂y∂φdy=0,∂x∂ψdx+∂y∂ψdy=0
从而
∂φ∂x/∂φ∂y=−a12+Δa11,∂φ∂x/∂ψ∂y=−a12−Δa11\frac{\partial \varphi}{\partial x}/\frac{\partial \varphi}{\partial y}=-\frac{a_{12}+\sqrt{\Delta}}{a_{11}},\quad \frac{\partial \varphi}{\partial x}/\frac{\partial \psi}{\partial y}=-\frac{a_{12}-\sqrt{\Delta}}{a_{11}} ∂x∂φ/∂y∂φ=−a11a12+Δ,∂x∂φ/∂y∂ψ=−a11a12−Δ
由a11≠0a_{11}\neq 0a11=0可知∂φ∂y∂ψ∂y≠0\frac{\partial \varphi}{\partial y}\frac{\partial \psi}{\partial y}\neq 0∂y∂φ∂y∂ψ=0。从雅克比行列式算得
J=−2Δa11∂φ∂y∂ψ∂y≠0J=-\frac{2\sqrt{\Delta}}{a_{11}}\frac{\partial \varphi}{\partial y}\frac{\partial \psi}{\partial y}\neq 0 J=−a112Δ∂y∂φ∂y∂ψ=0
故ξ,η\xi,\etaξ,η是两个独立的变量，同理由式（3）可算得
A12=−2Δa11∂φ∂y∂ψ∂y≠0A_{12}=-\frac{2\Delta}{a_{11}}\frac{\partial \varphi}{\partial y}\frac{\partial \psi}{\partial y}\neq 0 A12=−a112Δ∂y∂φ∂y∂ψ=0
而B1,B2,CB_1,B_2,CB1,B2,C也可由推导出的公式算出

若对式（7）再作变量代换
s=12(ξ+η),t=12(ξ−η)s=\frac{1}{2}(\xi+\eta),\quad t=\frac{1}{2}(\xi-\eta) s=21(ξ+η),t=21(ξ−η)
可得方程
∂2u∂t2−∂2u∂s2+1A^11(B^1ut+B^2us+C^u)=0(8)\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-\frac{\partial^2u}{\partial s^2}+\frac{1}{\hat A_{11}}(\hat B_1u_t+\hat B_2u_s+ \hat Cu)=0 \tag{8} ∂t2∂2u−∂s2∂2u+A^111(B^1ut+B^2us+C^u)=0(8)
方程（7）和（8）都称为双曲型方程的标准型。

当Δ=0\Delta=0Δ=0时，由特征方程（5）只能得到一个一阶线性常微分方程。不妨设a11≠0a_{11}\neq 0a11=0，该方程为
dydx=a12a11\frac{dy}{dx}=\frac{a_{12}}{a_{11}} dxdy=a11a12
解得一族特征曲线φ(x,y)=h\varphi(x,y)=hφ(x,y)=h。任取二元函数ψ(x,y)\psi(x,y)ψ(x,y)，使得J=∂(φ,ψ)∂(x,y)≠0J=\frac{\partial (\varphi,\psi)}{\partial(x,y)}\neq 0J=∂(x,y)∂(φ,ψ)=0。作变量代换
ξ=φ(x,y),η=ψ(x,y)\xi=\varphi(x,y),\quad \eta=\psi(x,y) ξ=φ(x,y),η=ψ(x,y)
可得A11=0,A22≠0A_{11}=0,A_{22}\neq 0A11=0,A22=0。因a122=a11a22a_{12}^2=a_{11}a_{22}a122=a11a22，∂φ∂x/∂φ∂y=−a22a11\frac{\partial \varphi}{\partial x}/\frac{\partial \varphi}{\partial y}=-\frac{a_{22}}{a_{11}}∂x∂φ/∂y∂φ=−a11a22，从式（3）可得
A12=1a11(a11∂φ∂x+a12∂φ∂y)(a11∂ψ∂x+a12∂ψ∂y)=0A_{12}=\frac{1}{a_{11}}(a_{11}\frac{\partial \varphi}{\partial x}+a_{12}\frac{\partial \varphi}{\partial y})(a_{11}\frac{\partial \psi}{\partial x}+a_{12}\frac{\partial \psi}{\partial y})=0 A12=a111(a11∂x∂φ+a12∂y∂φ)(a11∂x∂ψ+a12∂y∂ψ)=0
新方程为
∂2u∂η2+1A22(B1∂u∂ξ+B2∂u∂η+Cu)=0\frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2}+\frac{1}{A_{22}}(B_1\frac{\partial u}{\partial \xi}+B_2\frac{\partial u}{\partial \eta}+Cu)=0 ∂η2∂2u+A221(B1∂ξ∂u+B2∂η∂u+Cu)=0
称为抛物线方程的标准形。

当Δ<0\Delta<0Δ<0时，特征方程（5）只能在复数域内分解成两个一阶方程。不妨设a11≠0a_{11}\neq 0a11=0，相应的一阶方程为
dydx=a12+i−Δa11和dydx=a12−i−Δa11\frac{dy}{dx}=\frac{a_{12}+i\sqrt{-\Delta}}{a_{11}}\quad 和 \quad \frac{dy}{dx}=\frac{a_{12}-i\sqrt{-\Delta}}{a_{11}} dxdy=a11a12+i−Δ和dxdy=a11a12−i−Δ
此时，不存在实特征线，特征方程（5）的隐式通解为
φ(x,y)±iψ(x,y)=h\varphi(x,y)\pm i\psi(x,y)=h φ(x,y)±iψ(x,y)=h
为避免引入复变量，作变换
{ξ=φ(x,y)η=ψ(x,y)\begin{cases} \xi=\varphi(x,y) \\ \eta=\psi(x,y) \end{cases} {ξ=φ(x,y)η=ψ(x,y)
由定理1将z=φ(x,y)±iψ(x,y)z=\varphi(x,y)\pm i\psi(x,y)z=φ(x,y)±iψ(x,y)代入式（4），分别取实、虚部，可得A11=A22,A12=0A_{11}=A_{22}, A_{12}=0A11=A22,A12=0，则有新方程
∂2u∂ξ2+∂2u∂η2+1A11(B1∂u∂ξ+B2∂u∂η+Cu)=0\frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2}+\frac{\partial^2u}{\partial\eta^2}+\frac{1}{A_{11}}(B_1\frac{\partial u}{\partial \xi}+B_2\frac{\partial u}{\partial \eta}+Cu)=0 ∂ξ2∂2u+∂η2∂2u+A111(B1∂ξ∂u+B2∂η∂u+Cu)=0
称方程为椭圆型方程的标准型。

一维波动方程、热传导方程和二维调和方程正式三类方程的最简单的标准性。

例1：求方程
x2∂2u∂x2−2xy∂2u∂x∂y+y2∂2u∂y2+x∂u∂x+y∂u∂y=0x^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-2xy\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}+y^2\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+x\frac{\partial u}{\partial x}+y\frac{\partial u}{\partial y}=0 x2∂x2∂2u−2xy∂x∂y∂2u+y2∂y2∂2u+x∂x∂u+y∂y∂u=0
的通解。

解：Δ=(xy)2−x2y2=0\Delta=(xy)^2-x^2y^2=0Δ=(xy)2−x2y2=0，方程为抛物型，特征方程
x2(dy)2+2xydxdy+y2(dx)2=(xdy+ydx)2=0x^2(dy)^2+2xydxdy+y^2(dx)^2=(xdy+ydx)^2=0 x2(dy)2+2xydxdy+y2(dx)2=(xdy+ydx)2=0
即
ydx+xdy=0ydx+xdy=0 ydx+xdy=0
积分得一族特征线
xy=cxy=c xy=c
作变量代换
ξ=xy,η=y\xi=xy,\quad \eta=y ξ=xy,η=y
可把方程变为
ηuηη+uη=0\eta u_{\eta\eta}+u\eta=0 ηuηη+uη=0
令v=uηv=u_\etav=uη，得
ηvη+v=0\eta v_\eta+ v=0 ηvη+v=0
解之得
uη=v=φ(ξ)η−1u_{\eta}=v=\varphi(\xi)\eta^{-1} uη=v=φ(ξ)η−1
所以
u=φ(ξ)ln∣η∣+ψ(ξ)=φ(xy)ln∣y∣+ψ(x,y),y≠0u=\varphi(\xi)ln|\eta|+\psi(\xi)=\varphi(xy)ln|y|+\psi(x,y),\quad y\neq 0 u=φ(ξ)ln∣η∣+ψ(ξ)=φ(xy)ln∣y∣+ψ(x,y),y=0
其中，φ,ψ\varphi,\psiφ,ψ是任意二次可微函数。

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1. 特征方程和特征线

2. 方程的分类、化简和标准形

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