特征方程求数列的通项公式（二阶线性递推式)

已知数列{an}\{a_n\}{an}满足fn=afn−1+bfn−2,a,b∈N,b≠0,n>2,f1=c1,f2=c2,(c1,c2f_n=af_{n-1}+bf_{n-2},a,b\in N,b\ne 0,n>2,f_1=c_1,f_2=c_2,(c_1,c_2fn=afn−1+bfn−2,a,b∈N,b=0,n>2,f1=c1,f2=c2,(c1,c2为常数)))

定义：x2=ax+bx^2=ax+bx2=ax+b为递推式的特征方程，该方程的根为数列{an}\{a_n\}{an}的特征根即为p,qp,qp,q

定理1：若p≠qp\ne qp=q，an=Apn−1+Bqn−1a_n=Ap^{n-1}+Bq^{n-1}an=Apn−1+Bqn−1

{a1=A+B=c1a2=Ap+Bq=c2⇒\begin{cases} a_1=A+B=c_1\\ a_2=Ap+Bq=c_2\end{cases}\Rightarrow{a1=A+B=c1a2=Ap+Bq=c2⇒ 解得 A,BA,BA,B

定理2：若p=qp=qp=q，an=(A+Bn)pn−1a_n=(A+Bn)p^{n-1}an=(A+Bn)pn−1

{a1=A=c1a2=(A+2B)p=c2⇒\begin{cases} a_1=A=c_1\\ a_2=(A+2B)p=c_2\end{cases}\Rightarrow{a1=A=c1a2=(A+2B)p=c2⇒ 解得 A,BA,BA,B

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