高数_第5章常微分方程_二阶线性微分方程解的结构

2024-06-13 21:59:54

二阶线性微分方程的一般形式是

y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x) ———————— （1）

这里所谓的线性是指未知函数 y 及其一阶导y', 二阶导 y'' 都是一次的函数（对x不要求是线性的），如果f(x) 不恒为0，则称方程(1) 为二阶线性非齐次微分方程，如果 f(x) Ξ 0 ，则方程(1) 化为

y'' + p(x)y' + q(x)y = 0. _____________(2)

我们称(2) 为二阶线性齐次微分方程。

1. 两个函数的线性相关性

设 y₁(x), y₂(x) 为定义在区间上的两个函数，如果存在常数 λ, 使得对一切 x ∈

，恒有 y₂(x) = λy₁(x), 或 y₁(x) = λy₂(x), 则称. y₁(x), y₂(x)在区间上线性相关，否则称它们线性无关。

在实际检验中，经常可以检查两个函数之比，若两个函数之比恒为常数，则此两个函数线性相关；若两个函数之比不恒为常数，此两个函数线性无关。

2. 二阶线性齐次微分方程解的结构

定理1 设 y₁(x), y₂(x)都是二阶线性齐次微分方程(2) 的解，则对任意常数C₁, C₂,

y = C₁y₁(x) + C₂y₂(x) ————————(3)

都是方程（2）的解。

定理2 设 y₁(x), y₂(x)都是方程(2) 的两个线性无关的解，则对任意常数C₁, C₂,

y = C₁y₁(x) + C₂y₂(x)

就是方程（2）的解。

3. 二阶线性非齐次微分方程解的结构

4. 看几个例题

4.1 判断函数组在定义区间上的线性相关性

1- cos2x, sin²x;

解：由三角函数的降幂公式有 2sin²x = 1 - cos2x.

有 2sin²x/sin²x = 2，所以线性相关性。

4.2 验证 y₁ = cosωx 及 y₂ = sinωx 都是微分方程 y'' + ω²y = 0的解，并写出该方程的通解。

解：

Y = C₁cosωx + C₂sinωx

其中C₁， C₂是任意常数。

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