《数据结构与算法》——树与二叉树之遍历总结

树与二叉树部分计划分为三次进行复习总结，第一次为基本概念和二叉树的遍历，第二次内容为线索二叉树以及树和森林，第三次为树与二叉树的应用。

树的基本概念

二叉树的基本概念

二叉树的存储结构

二叉树的遍历

方法声明

先序遍历·递归（PreOrder）

中序遍历.递归（InOrder）

后续遍历.递归（PostOrder）

层次遍历·递归（LevelOrder）

先序遍历·非递归（PreOrder2）

中序遍历.非递归（InOrder2）

☆后续遍历.非递归（PostOrder2）（较难）

层次遍历·非递归（LevelOrder2）

测试代码

参考文献

树的基本概念

树：N个结点的有限集合。（N≥0）

空树：没有结点的集合即N=0。

在任何一个非空树中应满足以下条件：

1.有且仅有一个特定的被称为根的结点。

2.当N>1时，其余节点可分为m(m>0)个互不相交的有限集合T1,T2,T3……,Tm，其中每个集合均为一棵树，称为根结点的子树。

结点的度：一个结点的子结点的个数被称为该结点的度，最大的度被称为树的度。

结点的高度：从叶结点开始自底向上逐层累加。

结点的深度：从根节点开始自顶向下逐层累加。

结点的层次：树根为第一层，依次向下。

树的高度（深度）：树中结点的最大层数。

有序树和无序树：有序树中一个结点的子节点是依次从左向右排列，并且之间有某种关联存在，交换顺序则发生改变；无序树中结点的子结点无谓排列顺序，之间的关联度不大。

路径：两个结点之间的结点序列，不包括两个端点。

路径长度：两个节点之间的边数。

森林：多棵树的集合。

树的性质：

1.结点数=所有结点的度数+1；

2.度为m的树中最多有m^(i-1)个结点；

3.高度为h的m叉树中最多有(m^h-1)/(m-1)个结点；

4.具有n个结点的m叉树的最小高度为{Logm[n*(m-1)+1]}向上取整。

二叉树的基本概念

二叉树：树形结构，每个结点最多有两个子结点，并且有左右之分，次序不可颠倒。

二叉树与度为2的树的区别：度为2的树至少有3个结点（根左右），二叉树可以为空；度为2的有序树某一结点如果只有一个子结点那么其无谓左右顺序，而二叉树无论有无结点，或一个结点其均有序。

满二叉树：一棵高度为h，结点个数为2^h-1的树被称为满二叉树。

完全二叉树：一棵高度为h，结点个数为n的树，当且仅当结点从左至右，从上至下排列时被称为完全二叉树。

二叉排序树：一棵空二叉树或者具有以下性质的二叉树：对于每一个节点，左.key<中.key <右.key。

平衡二叉树：任一结点的左子树和右子树的深度之差不超过1。

二叉树的性质：易。

二叉树的存储结构

二叉树的存储结构分为顺序存储结构和链式存储结构。

顺序存储结构：从下标为1的数组中开始按层存储，例如：1 23 4567 891011 ……存取方便，但空间利用率低，遇到无值的左右节点仍需补0填充。

链式存储结构：每个树结点利用链表中的一个链结点来存储。

typedef struct BiTNode{
Elemtype data;
struct BiTNode *lchild,*rchild;
} BiTNode,* BiTree;

//这种写法在c++11标准里可以用，意思是BiTNode == struct BiTNode ，* BiTree == struct BiTNode* ，即可以直接用BiTNode,* BiTree来声明变量。

不难发现，每个结点都会有两个指针和一个数据，但并不是每个结点都会有一个或两个子结点，那么这些空节点就会白白浪费掉，对此我们有了一个新的结构概念——线索链表。

二叉树的遍历

二叉树在存储上是一种很方便的结构，所以对于它遍历算法的学习是很有必要的，它对于后面的学习起着一定的基础作用，譬如后面学习的图的遍历等。

二叉树在遍历上分为前中后序、层次四种遍历，在实现上分为递归和非递归两种。即本小节总共会有八个遍历算法出现。在此我们使用的是：普通的二叉树（任意一棵二叉树）、链式存储结构。

方法声明

BiTree creatBiTree(Elemtype tree[] , int n , int num );//使用顺序存储结构建立链式存储结构二叉树 void visit(BiTree b);//访问结点void PreOrder(BiTree T);//先序遍历·递归（PreOrder）void InOrder(BiTree T);//中序遍历.递归（InOrder）void PostOrder(BiTree T);//后序遍历.递归（PostOrder）void LevelOrder(queue<BiTree> qt);//层次遍历.递归（LevelOrder）void PreOrder2(BiTree T);//先序遍历·非递归（PreOrder2）void InOrder2(BiTree T);//中序遍历.非递归（InOrder2）void PostOrder2(BiTree T);//后序遍历.非递归（PostOrder2）void LevelOrder2(BiTree T);//层次遍历.非递归（LevelOrder2）

先序遍历·递归（PreOrder）

void PreOrder(BiTree T){//先序遍历·递归（PreOrder）//cout<<(T==0)<<endl;if(T){visit(T);//cout<<555<<endl;PreOrder(T->lchild);PreOrder(T->rchild);}
}

中序遍历.递归（InOrder）

void InOrder(BiTree T){//中序遍历.递归（InOrder）if(T){InOrder(T->lchild);visit(T);InOrder(T->rchild);}
}

后续遍历.递归（PostOrder）

void PostOrder(BiTree T){//后序遍历.递归（PostOrder）if(T){PostOrder(T->lchild);PostOrder(T->rchild);visit(T);}
}

层次遍历·递归（LevelOrder）

void LevelOrder(queue<BiTree> qt){//层次遍历.递归（LevelOrder）if(!qt.empty()){BiTree T = qt.front();visit(T);qt.pop();if(T->lchild)qt.push(T->lchild);if(T->rchild)qt.push(T->rchild); LevelOrder(qt); }
}

先序遍历·非递归

void PreOrder2(BiTree T){//先序遍历·非递归（PreOrder2）stack<BiTree> st;BiTree temp = T;while(temp||!st.empty()){//栈不空或者指针不空时 if(temp){visit(temp);st.push(temp);temp = temp->lchild;}else{temp = st.top()->rchild;st.pop();}}
}

中序遍历.非递归

void InOrder2(BiTree T){//中序遍历.非递归（InOrder2）stack<BiTree> st;BiTree temp = T;while(temp||!st.empty()){if(temp){st.push(temp);temp = temp->lchild;}else{temp = st.top();st.pop();visit(temp);temp = temp->rchild;}}
}

☆后续遍历.非递归（较难）

void PostOrder2(BiTree T){//后序遍历.非递归（PostOrder2）stack<BiTree> st;stack<int> stemp;//用来记录相对应当前节点的访问次数 BiTree temp = T;int tt=0;while(temp||!st.empty()){while(temp&&tt==0){//一直向左,直至无左子树存在 st.push(temp);stemp.push(tt+1);temp = temp->lchild;tt = 0;}if(!st.empty()){//访问或压右结点 temp = st.top();st.pop();tt = stemp.top();stemp.pop();if(tt==1){//已经访问了左子树但未访问右子树 stemp.push(tt+1);st.push(temp);temp = temp->rchild;tt = 0;}else{//两个子结点全部访问完，访问当前节点 visit(temp);if(!st.empty()){//防止读取出错，最后结束标志 temp = st.top();tt = stemp.top();     }else{temp =NULL;}}}}
}

层次遍历·非递归（LevelOrder2）

void LevelOrder2(BiTree T){//层次遍历.非递归（LevelOrder2）queue<BiTree>  qt;BiTree temp;qt.push(T);//cout<<qt.front()->data<<endl;while(!qt.empty()){temp = qt.front();visit(temp);//    cout<<temp->data<<endl;qt.pop();if(temp->lchild)qt.push(temp->lchild);if(temp->rchild)qt.push(temp->rchild); }
}

测试代码

/*编译环境：

win10专业版

DEV C++ 5.11

TDM-GCC 4.9.2 64bit

#include<iostream>

#include "malloc.h"

#include<queue>

#include<stack>

using namespace std;

typedef char Elemtype ;

/*编译环境：
win10专业版
DEV C++ 5.11
TDM-GCC 4.9.2 64bit
*/
#include<iostream>
#include "malloc.h"
#include<queue>
#include<stack>
using namespace std;typedef char Elemtype ; typedef struct BiTNode{//定义二叉树结构 Elemtype data;BiTNode *lchild,*rchild;
} BiTNode,*BiTree;BiTree creatBiTree(Elemtype tree[] , int n , int num ){//使用顺序存储结构建立链式存储结构二叉树 //cout<<num<<endl;if(n<num||tree[num]==0)//超过结点个数限制或该点是空结点return NULL;//该点不是空结点 BiTree T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));T->data = tree[num];T->lchild =  creatBiTree (tree,n,num*2);T->rchild =  creatBiTree (tree,n,num*2+1);return T;
}void visit(BiTree b){//访问结点cout<<b->data<<"\t";
}int main(){BiTree T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));Elemtype A[30]= {0,'A','B','D',0,'C','E','F',0,0,0,0,0,0,'G','I',0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,'H'};T = creatBiTree(A,29,1);cout<<endl<<"先序遍历·递归（PreOrder）:\t";PreOrder(T);//先序遍历·递归（PreOrder）cout<<endl<<"中序遍历.递归（InOrder）:\t";InOrder(T);//中序遍历.递归（InOrder）cout<<endl<<"后序遍历.递归（PostOrder）:\t";PostOrder(T);//后序遍历.递归（PostOrder）queue<BiTree> qt;qt.push(T);cout<<endl<<"层次遍历.递归（LevelOrder）:\t";LevelOrder(qt);//层次遍历.递归（LevelOrder）cout<<endl<<"先序遍历·非递归（PreOrder2）:\t";PreOrder2(T);//先序遍历·非递归（PreOrder2）cout<<endl<<"中序遍历.非递归（InOrder2）:\t";InOrder2(T);//中序遍历.非递归（InOrder2）cout<<endl<<"后序遍历.非递归（PostOrder2）:\t";PostOrder2(T);//后顺序遍历.非递归（PostOrder2）cout<<endl<<"层次遍历.非递归（LevelOrder2）:\t";LevelOrder2(T);//层次遍历.非递归（LevelOrder2）return 0;
}

参考文献

严蔚敏，吴伟民. 数据结构（C语言版）[M]. 北京：清华大学出版社，2013.

如有错误，还请朋友不吝指正。