最短路小结（三种算法+各种常见变种）

额，博主只是做了几（约数）道题而已，写这篇小结纯粹想留作纪念（勿喷，但是可以交流）（那啥，转载的话注明一下来源。。打字不容易。。）
最短路呢，包括三种算法，但是各有各的变种，其中变化有很多。
简单记录一下。
首先是三种算法：
1、Dijkstra算法。（单源点最短路径）
双手奉上啊哈雷算法。
然后开始叙述我所理解（如有雷同。。那就雷同吧）的：
有n个点，相互之间可能有所连接或者没有，那么现在，如果让求点1到点n之间的最短路，该怎么求？
这里面有个很有趣的东西，叫做松弛，翻译过来就是这么个意思：
假如已知最短路1-3长度为5，最短路1->4长度为7（无论是1-3，还是1-4均是当前最短，也可以理解成当前最优（dp）），而3->4的长度为1，那么这个时候，明显可以知道：1->3->4的长度是小于1->4的，那么现在把1-4更新到当前最优，长度也就是变成了6。
以上就是松弛操作。也就是假设在1-n中有一个x点，且用d数组表示1~其他点的当前最优最短路，用w二维数组表示两点之间的距离，那么给定一个当前最优点y，如果d[y]>d[x]+w[x][y]，是不是说明d[y]可以有更小的值呢？答案显而易见。
那么这是一个点，题目中一共n个点，那么我用每一个点都去更新1到其他点的距离，那么全部更新过后，是不是d[n]表示的就是从1~n的最短路了呢?
而这一切，每一次更细都相当于在所有任意的两个点（其中一个点是1（起点））里插入第三个点，看是否能够松弛，若能，就松弛，不能，就不管了呗。
还有，既然，n个点都要去更新一遍，那么谁先去更新呢？
答案：当然是d值最小的那个点去更新，因为用最小的去更新，才可能更新的动呀。但是既然，只需要每个点更新一次，那么要做个标记，以防更新过的点再次进行更新。
d值会越来越小，那么初值肯定是越大越好咯。
但是呢，既然d数组代表的是1到其余各点的最短距离，那么d[1]肯定是0。。
例题博客（基本上我第一次写的题博客都很长。。）：Til the Cows Come Home
来啊，代码伺候！！！

int INF=0x3f3f3f3f
for(int i=1;i<=n;i++)
{
    d[i]=INF;vis[i]=0;
}
d[1]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)//每个点都要参与更新，所以循环n次
{int m=INF,x=-1;//m是为了找出最小那一个，x记录节点for(int j=1;j<=n;j++){if(!vis[j]&&d[j]<m){m=d[x=j];}}if(x!=-1){vis[x]=1;//用于更新过了，就要标记for(int j=1;j<=n;j++)//用最小的d[x]去更新d[j]{if(d[j]>d[x]+w[x][j])
            {                d[j]=d[x]+w[x][j];
            }
        }
    }
}

2、bellman（附加spfa）
既然已经知道什么是松弛（不知道的再看一遍，因为是环环相扣的），接下来就说一下什么是bellman。
刚才已经说了，Dijkstra算法是用n个点去更新从1点到其余各点（这里的1代表起点，谁是起点看题意，只需要把起点的d变成0就可以了）的最短路，那么也就是用的边去更新两点之间的距离。
然后就提出了bellman，思想是从源点逐次经过其他点，以缩短到达终点的距离，假设n个点不存在负权值回路，那么最多存在n-1条边，因为假设存在超过n-1条边，那么肯定会重复经过一个点，那么最短路就可以更新：
Bellman-Ford算法构造一个最短路径长度数组序列：dist（1）[u],dist（2）[u],dist（3）[u]，…，dist（n-1）[u]。其中：
dist（1）[u]为从源点v0到终点u的只经过一条边的最短路径的长度，并有dist（1）[u]=edge[v0,u]。
dist（3）[u]为从源点v0出发最多经过不构成负权值回路的3条边到达终点u的最短路径长度。
……
dist（n-1）[u]为从源点v0出发最多经过不构成负权值回路的n-1条边到达终点u的最短路径长度。
算法的最终目的是计算出dist（n-1）[u]，为源点v0到顶点u的最短路径长度，也就是利用n-1条边更新过后的最短距离。
采用递推方式计算dist（k）[u]。
设已经求出dist（k-1）[u]，u=0,1,…,n-1，此即从源点v0最多经过不构成负权值回路的k-1条边到达终点u的最短路径的长度。
从图的邻接矩阵可以找出各个顶点j到达顶点u的(直接边)距离edge[j,u]，计算min{distk-1[j]+edge[j,u]}，可得从源点v0途经各个顶点，最多经过不构成回路的k条边到达终点u的最短路径的长度。比较dist（k-1）[u]和min{dist（k-1）[j]+edge[j,u]}，取较小者作为dist（k）[u]的值。
因此Bellman-Ford算法的递推公式（求源点v0到各顶点u的最短路径）为：初始：dist（1）[u]=edge[v0,u]，v0是源点递推：dist（k）[u]=min{dist（k-1）[u],min{dist（k-1）[j]+edge[j,u]}} j=0,1,…,n-1,j<>u; k=2,3,4,…,n-1 。
所以，n-1次过后便可以得到最短路，如果n-1次后依旧可以更新，那么说明存在负权回路或者是正权回路。
其次，对于无论是Dijkstra还是Bellman，均有一个选点去更新的操作，那么有的时候，可能选出的点不能对任何点进行更新，所以造成了时间的浪费，而且，还有一句是被更新过的点一定可以去更新其他点（不知道对不对。。），然后呢，就会想到，为什么不把每次更新过的点装进一个容器呢？直到再没有点可以装进容器（代表最短路已是最优，更新完毕）。
然后想到了数组，想到了栈和队列，但是呢，数组模拟需要一数组还要一指针变量时刻维护，所以就用栈和队列吧，相同的时间复杂度，但是呢，还有一点，选出尽量小的去更新其他点，这样更好。所以，考虑优先队列，那为啥不考虑优先。。栈呢？因为意义一样呀。。。
回到正，负权的问题上，怎样进行初始化呢、、
对于负权，自然是越来越小，所以数组赋为极大值，正权的话，赋为0好了。
给出一篇判定负环的博客：Wormholes。
给出一篇判定正环的博客：Arbitrage，内含两种判定正环的方法，一个是bellman，一个是floyed（下文有）。
给出一篇使用spfa的题解（模板）：Til the Cows Come Home。
然后，奉上优先队列（经典，当然不是我的。。）博客：优先队列详解。
以上就是bellman和spfa用法，对了，提到spfa就不得不提到差分约束系统，自行看下（尝试理解，因矩阵知识浅薄，所以只会最基础的）：Candies，里面有差分约束的博客，但是最好还是先看下题，理解这种思想用于哪个方面。

3、floyed
floyed是求任意两点间的最短路算法，因为三个for让他拥有不小的局限性，若是1s的话，n的范围只能是100以下，若是bellman能够理解成为利用n-1条边去更新起点到定点的最短路，记录的是前i条边更新过后的状态，那么floyed就可以理解为利用点去更新，记录的是前i个点更新过后的当前最优状态，三个for，假如分别是k，i，j，那么每次都会利用k作为中间桥梁，询问，i->j，i->k->j这两个哪个更短。。。保留当前最优，直到利用所有点把这对i，j更新n遍。（也就是n遍Dijkstra），这样理解会不会容易一些。
然后呢，floyed会牵扯出一个问题，叫做传递闭包问题，也就是关系的一个转换而已，给出一道例题解析：Cow Contest，这种题数据小的话（<=100）直接floyed暴力过，大了的话，就又牵扯出一个概念，叫做强连通分量，又有三种算法（暂不解释）。

以上呢，就是三种算法，在这里，补充一点Dijkstra的变种，其实也不算是变种，只是松弛操作的内容有点区别而已，都是共通的。
其一呢：最小生成树之prim算法（补了一觉继续写。。）。
现在我不再区别最短路的三种算法，统称为最短路。
那么思考最短路与最小生成树的区别，一样是求的最小值，但是最短路两点之间的最短路，而最小生成树求得是将全图的点连起需要的最小长度。
给出百度百科解释（很容易理解）：prim算法百度百科，每次都找已经找过的点的最小距离，那么利用代码怎么实现呢？
找到离部分连通图最近的d值的点，加入标记，然后用这条边去更新所有没有被标记的点的距离。
附代码：

void prim()
{for(int i=1;i<=n;i++)d[i]=w[1][i];//初始化，也可以全设为INFvis[1]=1;int sum=0;for(int i=2;i<=n;i++){int minn=INF,pos=0;for(int j=1;j<=n;j++)//选出一个最近的点{if(!vis[j]&&d[j]<minn){minn=d[pos=j];}}sum+=minn;//求最小距离vis[pos]=1;for(int j=1;j<=n;j++)//更新没有被标记的点if(!vis[j]&&d[j]>w[pos][j])d[j]=w[pos][j];}
}

d[j]>w[pos][j]是指：因为只要把全图连接起来便好，所以不用像最短路那样严格控制是一条路。并且，d数组的用法在变种里面都代表不同的含义，因为之前在写题解的时候写过了，所以直接给出那道题（内含d数组的讲解）Frogger，然后给出一道模板题：Jungle Roads。
其二呢，就是刚才给出的那道Frogger，这类题的基本题意是最一个有向或者无向图里，从一个起点（假设为st）到一个重点（假设为ed）有很多条路，那么，每一条路呢都有一个最大长度边和一个最小长度边，那么这类题就会拿这个做文章，问：从st到ed里所有路的最小边长的最大值是多少？或者是从st到ed里所有路的最大边长的最小值是多少？
而这些呢，主要就是d数组的差异，给出两道题，分别对应两种问法。
Frogger
Heavy Transportation。
那么整理到这里，也就是我花了那么多天的做的专题的成果了。
参考：floyed算法、bellman算法。
对了对了，再补充一个邻接表，双手奉上啊哈雷大大的邻接表博客，然后，就是自己的补充了：

假设一个有向图，存在n个点，m条边
那么：
我见过的有两种方式：
①
struct djh
{int u,v,w;代表含义分别是：左端点，右端点，边长
}edge[];这个数组的范围是按照m的范围而定的
int first[]这个数组的范围是按照n的范围而定的
int next[]这个数组的范围是按照m的范围而定的
初始化：
for(int i=1;i<=n;i++)
{first[i]=-1;
}
for(int i=1;i<=m;i++)
{next[i]=-1;
}
输入边的时候：
for(int i=1;i<=m;i++)
{scanf("%d%d%d",&edge[i].u,&edge[i].v,&edge[i].w);next[i]=first[edge[i].u];first[edge[i].u]=i;
}
dijs或者spfa或者其他引用的写法：
选出一个点;
res
for(int i=first[res];i!=-1;i=next[i])
{if(dis[edge[i].v>dis[edge[i].u]+edge[i].w){dis[edge[i].v=dis[edge[i].u]+edge[i].w}
}②
struct djh
{int to,w,next;分别代表右端点，边长，next数组
}edge[];这个数组的范围是按照m的范围而定的
int first[]这个数组的范围是按照n的范围而定的
初始化不变
输入边的时候：
tot=0;
while(m--)
{int u,v,w;scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);edge[tot].nexx=first[u];edge[tot].v=v;edge[tot].w=w;first[u]=tot++;
}
dijs或者spfa或者其他引用的写法：
选出一个点;
res
for(int i=first[res];i!=-1;i=edge[i].nexx)
{if(d[edge[i].v]>d[res]+edge[i].w){d[edge[i].v]=d[res]+edge[i].w;}
}

以上便是个人用法。

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