介绍

若 A0,A1,⋯,AlA_0, A_1, \cdots, A_lA0,A1,⋯,Al 为 lll 个 n×nn \times nn×n 复矩阵，l≥0,Al≠0l \ge 0, A_l \ne 0l≥0,Al=0(0表示零矩阵)，则 lll 次矩阵束 (Matrix Pencil) 是定义在复数域上的矩阵值函数
L(λ)=∑i=0lλiAiL(\lambda) = \sum_{i=0}^{l} \lambda^i A_iL(λ)=i=0∑lλiAi

特别的，线性束为
A−λB,λ∈C(orR),A - \lambda B, \lambda \in \mathbb{C}(or\ \R),A−λB,λ∈C(or R),

其中 A,BA,BA,B 为复(或实)矩阵，简记为(A,B)(A,B)(A,B)。

一个束称为是正则 (regular) 的，如果至少存在一个 λ\lambdaλ，使得
det⁡(A−λB)≠0\det(A - \lambda B) \ne 0det(A−λB)=0

矩阵束 (A,B)(A,B)(A,B) 的特征值为使 det⁡(A−λB)=0\det(A - \lambda B)=0det(A−λB)=0 的所有复数 λ\lambdaλ。

特征值的集合称为束的谱 (spectum)，记为 σ(A,B)\sigma(A,B)σ(A,B)。

另外，铅笔在无穷远处有一个或多个特征值如果 BBB 有一个或多个 0 特征值。

应用

矩阵束在数值线性代数 (numerical linear algebra) 中起着重要的作用。求一个铅笔的特征值问题称为推广的特征值问题 (generalized eigenvalue problem)。解决此问题的最流行的方法是QZ算法 (QZ algorithm), 它是使用QR算法 (QR algorithm)求解 B(−1)Ax=λxB^{(-1)} A x=\lambda xB(−1)Ax=λx 的隐格式, 即不显式的形成矩阵 B(−1)AB^{(-1)}AB(−1)A (当 BBB 奇异或近似奇异时, 无法转换或是一个病态问题)

由可换矩阵生成的束

若 AB=BAAB=BAAB=BA，则由 AAA 和 BBB 生成的束 (A,B)(A, B)(A,B), 必为下列三者之一(Marcus & Minc (1969), A survey of matrix theory and matrix inequalities, Courier Dover Publications)

(A,B)(A, B)(A,B) 中的矩阵均相似于对角矩阵
(A,B)(A, B)(A,B) 中的矩阵均不相似于对角矩阵
(A,B)(A, B)(A,B) 中只有一个矩阵相似于一个对角矩阵

Ref: Matrix Pencil 矩阵束-新浪博客

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