
1	【数理知识】向量数乘，内积，外积，matlab代码实现
2	【数理知识】矩阵普通乘积，哈达玛积，克罗内克积，点乘，点积，叉乘，matlab代码实现

文章目录

1. 向量基本形式
2. 向量的数乘
3. 向量的内积
4. 向量的外积
Ref

1. 向量基本形式

形如 ( a 1 a 2 ⋮ a n ) \left(\begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \\ \end{matrix}\right) a1a2⋮an 的形式称之为向量。

2. 向量的数乘

指用一个数乘以向量中的每个元素

b ∗ ( a 1 a 2 ⋮ a n ) = ( a 1 a 2 ⋮ a n ) ∗ b = ( a 1 ∗ b a 2 ∗ b ⋮ a n ∗ b ) \begin{aligned} b * \left(\begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \\ \end{matrix}\right) &= \left(\begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \\ \end{matrix}\right) * b &= \left(\begin{matrix} a_1 * b \\ a_2 * b \\ \vdots \\ a_n * b \\ \end{matrix}\right) \end{aligned} b∗ a1a2⋮an = a1a2⋮an ∗b= a1∗ba2∗b⋮an∗b

3. 向量的内积

等于对应位置相乘再相加，两个向量的内积的结果是变成一个标量（也叫点乘）

a ⋅ b = ( a 1 a 2 ⋮ a n ) ⋅ ( b 1 b 2 ⋮ b n ) = ( a 1 a 2 ⋯ a n ) ( b 1 b 2 ⋮ b n ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ⋯ + a n b n \begin{aligned} a \cdot b = \left(\begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \\ \end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \\ \end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n & \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \\ \end{matrix}\right) &= a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n \end{aligned} a⋅b= a1a2⋮an ⋅ b1b2⋮bn =(a1a2⋯an) b1b2⋮bn =a1b1+a2b2+⋯+anbn

a = [1;2;3];
b = [4;5;6];

Matlab语法：dot(a, b)

>> dot(a, b)
ans =32>> a .* b
ans =41018>> a * b
错误使用  *
用于矩阵乘法的维度不正确。请检查并确保第一个矩阵中的列数与第
二个矩阵中的行数匹配。要单独对矩阵的每个元素进行运算，请使用
TIMES (.*)执行按元素相乘。

点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在 b b b 向量在 a a a 向量方向上的投影，有公式：

a ⋅ b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos ⁡ θ a \cdot b = |a| |b| \cos \theta a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ

详细推导过程请参考：向量点乘（内积）和叉乘（外积、向量积）概念及几何意义解读，这里直接放结论

θ = arccos ⁡ ( a ⋅ b ∣ a ∣ ∣ b ∣ ) \theta = \arccos (\frac{a \cdot b}{|a| |b|}) θ=arccos(∣a∣∣b∣a⋅b)

根据这个公式就可以计算向量 a a a 和向量 b b b 之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为：

a ⋅ b > 0 a \cdot b > 0 a⋅b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间
a ⋅ b = 0 a \cdot b = 0 a⋅b=0 正交，相互垂直
a ⋅ b < 0 a \cdot b < 0 a⋅b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间

4. 向量的外积

叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于 a a a 和 b b b 向量构成的平面。两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直（也叫向量积、叉乘、叉积）

a × b = ( x 1 y 1 z 1 ) × ( x 2 y 2 z 2 ) = ∣ X Y Z x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 ∣ = ( y 1 z 2 − y 2 z 1 ) X − ( x 1 z 2 − x 2 z 1 ) X + ( x 1 y 2 − x 2 y 1 ) Z \begin{aligned}a \times b= \left(\begin{matrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \\ \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \\ \end{matrix}\right) &= \left|\begin{matrix} X & Y & Z \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ \end{matrix}\right| = (y_1 z_2 - y_2 z_1)X - (x_1 z_2 - x_2 z_1)X + (x_1 y_2 - x_2 y_1)Z \end{aligned} a×b= x1y1z1 × x2y2z2 = Xx1x2Yy1y2Zz1z2 =(y1z2−y2z1)X−(x1z2−x2z1)X+(x1y2−x2y1)Z

a = [1;2;3];
b = [4;5;6];

Matlab语法：dot(a, b)

>> cross(a, b)
ans =-36-3>> dot(a, cross(a, b))
ans =0>> dot(b, cross(a, b))
ans =0

关于向量外积的几何含义，我们假设在存在一个三维空间。

在下图可以看到，向量 V V V 和 U U U 的外积是指在三维空间中，由 V , U V, U V,U 所组成平面的法向量。

下面一幅图阐述了向量外积的交换律。

在二维空间中，叉乘还有另外一个几何意义就是：aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

Ref

矩阵和向量的乘法—点乘、叉乘、内积、外积、数乘、哈达玛积、克罗内克积
向量点乘（内积）和叉乘（外积、向量积）概念及几何意义解读
向量积 - 百度百科

【数理知识】向量数乘，内积，外积，matlab代码实现相关推荐

【数理知识】矩阵普通乘积，哈达玛积，克罗内克积，点乘，点积，叉乘，matlab代码实现
1 [数理知识]向量数乘,内积,外积,matlab代码实现 2 [数理知识]矩阵普通乘积,哈达玛积,克罗内克积,点乘,点积,叉乘,matlab代码实现文章目录 1. 矩阵基本形式 2. 矩阵基本运算 ...
向量的内积外积哈达玛积
1.向量的内积 1.1 定义从代数角度看,先对两个数字序列中的每组对应元素求积,再对所有积求和,结果即为点积.从几何角度看,点积则是两个向量的长度与它们夹角余弦的积. 表示形式: A T B A^T ...
【数理知识】《矩阵论》方保镕老师-第7章-几类特殊矩阵与特殊积
上一章回到目录下一章第7章-几类特殊矩阵与特殊积 7.1 非负矩阵 7.1.1 非负矩阵与正矩阵定理 7.1.3 (谱半径的单调性) 定理 7.1.4 (佩龙 (Perron) 定理) 7.1 ...
【数理知识】《矩阵论》方保镕老师-第3章-矩阵的分解
上一章回到目录下一章第3章矩阵的分解 3.1 矩阵的三角分解 3.1.1 消元过程的矩阵描述 3.1.2 矩阵的三角分解 3.1.3 常用的三角分解公式 3.2 矩阵的 QR(正交三角) 分解 ...
【数理知识】特征值、特征向量、左特征向量
特征值.特征向量.左特征向量左特征向量.右特征向量右特征向量 xix_ixi 如下,也是默认常用向量形式: Axi=λixiAx_i = \lambda_i x_iAxi=λixi 左特征 ...
【数理知识】kronecker 克罗内克积
Matlab 克罗尼克乘积 Kron(A,B) 目录定理1 定理2 定理3 转置定理4 逆定理5 秩定理6 迹定理7 线性无关定理10 特征值定理11 相似定理12 复系数多项式推论 ...
[数理知识]统计决策理论——贝叶斯决策与两类错误率
文章目录前序 1 决策理论与方法 1.1 基于先验概率的决策过程 1.2 基于贝叶斯公式的决策过程 1.3 决策错误率 2 贝叶斯决策的优化 2.1 最小错误率贝叶斯决策 2.1.1 二分类问题的决 ...
【矩阵论】1.准备知识——复数域上的内积域正交阵
矩阵论 1. 准备知识--复数域上的矩阵与换位公式) 1. 准备知识--复数域上的内积域正交阵 1. 准备知识--相似对角化与合同&正定阵 2. 矩阵分解-- SVD准备知识--奇异值 2. ...
Python/Numpy之点积叉积内积外积张量积
Python/Numpy之点积叉积内积外积张量积内积(内积.标量积.数量积.点积.点乘)a与b的内积为 a·b = |a||b|cos∠(a, b),结果为标量(一个数) 外积(叉乘):向量a与b的 ...

【数理知识】向量数乘，内积，外积，matlab代码实现