洛谷 - P1025 数的划分(计数dp)

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题目大意：将整数 n 分成 k 份有多少种分法

题目分析：设 dp[ i ][ j ] 为将整数 i 分成 j 份的方案数，拆分整数可以等价为放小球，相当于将 n 个小球放进 k 个盒子，最后必须保证没有空盒子的方案数，则可以其转换为两个子问题之和：

至少存在着一个盒子只有一个小球的方案数
所有盒子中的小球都大于一的方案数

上述情况一等价于 dp[ i - 1 ][ j - 1 ]，而上述情况二等价于，从每个盒子中都取出一个小球，最后将 i - j 个小球放入 j 个小球的方案数，也就是 dp[ i - j ][ j ]

所以 dp[ i ][ j ] = dp[ i - 1 ][ j - 1 ] + dp[ i - j ][ j ]

初始化的话，显然 dp[ i ][ 1 ] = 1，因为如果只有一个盒子的话，显然只有一种方法

代码：

//#pragma GCC optimize(2)
//#pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
//#pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
using namespace std;typedef long long LL;typedef unsigned long long ull;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=210;LL dp[N][N];int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.in.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++)dp[i][1]=1;for(int i=2;i<=n;i++)for(int j=2;j<=m;j++)dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-j][j];printf("%lld\n",dp[n][m]);return 0;
}

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