初等数论--整除--公倍数一定是最小公倍数的倍数

最小公倍数
公倍数一定是最小公倍数的倍数:a∣c且b∣c↔[a,b]∣ca|c且b|c\leftrightarrow [a,b]|ca∣c且b∣c↔[a,b]∣c

博主本人是初学初等数论（整除+同余+原根），本意是想整理一些较难理解的定理、算法，加深记忆也方便日后查找；如果有错，欢迎指正。
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最小公倍数

c=[a,b]c=[a,b]c=[a,b]
满足两个条件：{a∣c且b∣c对整数d,如果a∣d且b∣d，有d≥c满足两个条件：\left\{ \begin{aligned} a|c且b|c\\ 对整数d,如果a|d且b|d，有d\ge c \\ \end{aligned} \right. 满足两个条件：{a∣c且b∣c对整数d,如果a∣d且b∣d，有d≥c

公倍数一定是最小公倍数的倍数:a∣c且b∣c↔[a,b]∣ca|c且b|c\leftrightarrow [a,b]|ca∣c且b∣c↔[a,b]∣c

证明：证明：证明：

a∣c且b∣c→[a,b]∣c设L=[a,b]，对于两个整数c和L，一定满足∃q,r∈Z,使得c=qL+r,0≤r<L,因为a∣c,a∣qL,所以a∣c−qL=r；同理b∣rr是a、b的公倍数又因为0≤r<L=[a,b]，所以r=0,即c=qL=q[a,b],[a,b]∣ca|c且b|c\rightarrow [a,b]|c\\设L=[a,b]，对于两个整数c和L，一定满足{\exists}q,r \in Z,使得c=qL+r,0\le r<L,\\因为a|c,a|qL,所以a|c-qL=r；同理b|r\\r是a、b的公倍数\\又因为0\le r<L=[a,b]，所以r=0,\\即c=qL=q[a,b],[a,b]|ca∣c且b∣c→[a,b]∣c设L=[a,b]，对于两个整数c和L，一定满足∃q,r∈Z,使得c=qL+r,0≤r<L,因为a∣c,a∣qL,所以a∣c−qL=r；同理b∣rr是a、b的公倍数又因为0≤r<L=[a,b]，所以r=0,即c=qL=q[a,b],[a,b]∣c
[a,b]∣c→a∣c且b∣c[a,b]|c\rightarrow a|c且b|c[a,b]∣c→a∣c且b∣c
a∣[a,b],[a,b]∣c→a∣c;同理,b∣ca|[a,b],[a,b]|c\rightarrow a|c;同理,b|ca∣[a,b],[a,b]∣c→a∣c;同理,b∣c

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