初等数论--整除--带余除法

概念
基本性质
带余除法

博主本人是初学初等数论（整除+同余+原根），本意是想整理一些较难理解的定理、算法，加深记忆也方便日后查找；如果有错，欢迎指正。
我整理成一个系列：初等数论，方便检索。

概念

初等数论研究对象是整数集合和自然数集合。初等数论研究对象是整数集合和自然数集合。初等数论研究对象是整数集合和自然数集合。

b∣a:若a,b∈Z,b≠0，∃c∈Z,使a=bc,则称b整除a。b|a : 若a,b\in\mathbb Z,b\neq0，{\exists}c\in\mathbb Z,使a=bc,则称b整除a。b∣a:若a,b∈Z,b=0，∃c∈Z,使a=bc,则称b整除a。

基本性质

1.b∣a↔(−b)∣a↔b∣(−a)↔(−b)∣(−a)↔∣b∣∣∣a∣b|a\leftrightarrow (-b)|a\leftrightarrow b|(-a)\leftrightarrow (-b)|(-a)\leftrightarrow |b|||a|b∣a↔(−b)∣a↔b∣(−a)↔(−b)∣(−a)↔∣b∣∣∣a∣
2.a≠0且b∣a→∣b∣≤∣a∣a\neq0且b|a\rightarrow |b|\le|a|a=0且b∣a→∣b∣≤∣a∣
3.a∣b且b∣c→a∣ca|b且b|c\rightarrow a|ca∣b且b∣c→a∣c
4.a∣b且b∣a→∣a∣=∣b∣,b=±aa|b且b|a\rightarrow |a|=|b|,b=\pm aa∣b且b∣a→∣a∣=∣b∣,b=±a
5.a∣b且a∣c→a∣bt+cs,∀t,s∈Za|b且a|c\rightarrow a|bt+cs,\forall t,s\in\mathbb Za∣b且a∣c→a∣bt+cs,∀t,s∈Z
6.设m≠0,b∣a→mb∣ma设m\neq 0,b|a\rightarrow mb|ma设m=0,b∣a→mb∣ma

带余除法

设a,b是两个给定的整数，b>0，则必定存在唯一的一对整数q、r，满足a=qb+r,0≤r<b证明：存在性+唯一性设a,b是两个给定的整数，b>0，则必定存在唯一的一对整数q、r，满足a=qb+r,0\le r<b 证明：存在性+唯一性设a,b是两个给定的整数，b>0，则必定存在唯一的一对整数q、r，满足a=qb+r,0≤r<b证明：存在性+唯一性

存在性存在性存在性
我们已知整数序列…−3b,−2b,−b,0,b,2b,3b…，a必定满足qb≤a≤(q+1)b，我们令r=a−qb，则qb−qb≤a−qb<(q+1)b−qb,即0≤r<b我们已知整数序列{…-3b,-2b,-b,0,b,2b,3b…}，a必定满足qb\le a\le (q+1)b，我们令r=a-qb，则\\qb-qb\le a-qb< (q+1)b-qb,即0\le r<b我们已知整数序列…−3b,−2b,−b,0,b,2b,3b…，a必定满足qb≤a≤(q+1)b，我们令r=a−qb，则qb−qb≤a−qb<(q+1)b−qb,即0≤r<b
唯一性唯一性唯一性
反证法：假设还存在一对整数q‘、r’，满足a=q′b+r′,0≤r′<b,则有a=qb+r,a=q′b+r′,联立二式得到(q−q′)b=r′−r,因为0≤r′,r<b,所以0≤∣r′−r∣<b,因此∣q−q′∣<1。又因为q和q′都是整数，所以q=q′，所以r=r′反证法：假设还存在一对整数q‘、r’，满足a=q'b+r',0\le r'<b,则有\\a=qb+r,a=q'b+r',联立二式得到\\(q-q')b=r'-r,\\因为0\le r',r<b,所以0\le|r'-r|<b,\\因此|q-q'|<1。\\又因为q和q'都是整数，所以q=q'，所以r=r'反证法：假设还存在一对整数q‘、r’，满足a=q′b+r′,0≤r′<b,则有a=qb+r,a=q′b+r′,联立二式得到(q−q′)b=r′−r,因为0≤r′,r<b,所以0≤∣r′−r∣<b,因此∣q−q′∣<1。又因为q和q′都是整数，所以q=q′，所以r=r′

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