初等数论--整除--欧几里得算法/辗转相除法/更相减损术

欧几里得算法/辗转相除法/更相减损术

博主本人是初学初等数论（整除+同余+原根），本意是想整理一些较难理解的定理、算法，加深记忆也方便日后查找；如果有错，欢迎指正。
我整理成一个系列：初等数论，方便检索。

欧几里得算法/辗转相除法/更相减损术

设a0,a1∈Z,a1≠0,按照以下步骤，反复作带余除法：a0=a1q+a2,a2<a1a1=a2q+a3,a3<a2a2=a3q+a4,a4<a3……an−2=an−1q+an,an<an−1an−1=anq+an+1,an+1=0我们需要证明，以上必为有限步，且(a0,a1)=an设a_{0},a_{1}\in Z,a_{1}\neq 0,按照以下步骤，反复作带余除法：\\a_{0}=a_{1}q+a_{2},a_{2}<a_{1}\\ a_{1}=a_{2}q+a_{3},a_{3}<a_{2}\\ a_{2}=a_{3}q+a_{4},a_{4}<a_{3}\\ ……\\ a_{n-2}=a_{n-1}q+a_{n},a_{n}<a_{n-1}\\ a_{n-1}=a_{n}q+a_{n+1},a_{n+1}=0\\ 我们需要证明，以上必为有限步，且(a_{0},a_{1})=a_{n}设a0,a1∈Z,a1=0,按照以下步骤，反复作带余除法：a0=a1q+a2,a2<a1a1=a2q+a3,a3<a2a2=a3q+a4,a4<a3……an−2=an−1q+an,an<an−1an−1=anq+an+1,an+1=0我们需要证明，以上必为有限步，且(a0,a1)=an

以上必为有限步：因为0<an<an−1<…<a2<a1<a0,且a0为整数，它的正整数是有限的,所以n是有限的以上必为有限步：\\因为0<a_{n}<a_{n-1}<…<a_{2}<a_{1}<a_{0},\\且a_{0}为整数，它的正整数是有限的,\\ 所以n是有限的以上必为有限步：因为0<an<an−1<…<a2<a1<a0,且a0为整数，它的正整数是有限的,所以n是有限的
(a0,a1)=an：我们已知(a,b)=(a,b+ax),则(a0,a1)=(a0−a1q,a1)=(a2,a1)=(a1,a2),同理，(a1,a2)=(a2,a3),(a2,a3)=(a3,a4)……最终我们得到(a0,a1)=(an−1,an)=an(a_{0},a_{1})=a_{n}：\\ 我们已知(a,b)=(a,b+ax),\\ 则(a_{0},a_{1})=(a_{0}-a_{1}q,a_{1})=(a_{2},a_{1})=(a_{1},a_{2}),\\ 同理，(a_{1},a_{2})=(a_{2},a_{3}),(a_{2},a_{3})=(a_{3},a_{4})……\\ 最终我们得到(a_{0},a_{1})=(a_{n-1},a_{n})=a_{n}(a0,a1)=an：我们已知(a,b)=(a,b+ax),则(a0,a1)=(a0−a1q,a1)=(a2,a1)=(a1,a2),同理，(a1,a2)=(a2,a3),(a2,a3)=(a3,a4)……最终我们得到(a0,a1)=(an−1,an)=an

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