初等数论--整除--线性组合与最大公因数之间的关系

博主本人是初学初等数论（整除+同余+原根），本意是想整理一些较难理解的定理、算法，加深记忆也方便日后查找；如果有错，欢迎指正。
我整理成一个系列：初等数论，方便检索。

设a,b是两个不全为零的整数，则(a,b)=min设a,b是两个不全为零的整数，则(a,b)=min设a,b是两个不全为零的整数，则(a,b)=min{s:s=ax+by,∀x,y∈Z,s>0s:s=ax+by,{\forall}x,y\in Z,s>0s:s=ax+by,∀x,y∈Z,s>0}
证明：证明：证明：
由辗转相除法/欧几里得算法，我们可得(a,b)=at+bs,∃t,s∈Z,现在令d=at′+bs′,t′,s′∈Z,假设d<(a,b),则d=at′+bs′=(a,b)t′′t′+(a,b)s′′s′=(a,b)(t′′t′+s′′s′)即(a,b)∣d,这与d<(a,b)产生矛盾，所以(a,b)是a,b的线性组合中最小的由辗转相除法/欧几里得算法，我们可得(a,b)=at+bs,{\exists}t,s \in Z,\\ 现在令d=at'+bs',t',s'\in Z,假设d<(a,b),则\\ d=at'+bs'\\ =(a,b)t''t'+(a,b)s''s'\\ =(a,b)(t''t'+s''s')\\ 即(a,b)|d,这与d<(a,b)产生矛盾，所以(a,b)是a,b的线性组合中最小的由辗转相除法/欧几里得算法，我们可得(a,b)=at+bs,∃t,s∈Z,现在令d=at′+bs′,t′,s′∈Z,假设d<(a,b),则d=at′+bs′=(a,b)t′′t′+(a,b)s′′s′=(a,b)(t′′t′+s′′s′)即(a,b)∣d,这与d<(a,b)产生矛盾，所以(a,b)是a,b的线性组合中最小的
(a,b)∣at′+bs′，还说明(a,b)|at'+bs'，还说明(a,b)∣at′+bs′，还说明{s=ax+by,∀x,y∈Z,s>0s=ax+by,{\forall}x,y\in Z,s>0s=ax+by,∀x,y∈Z,s>0}这个集合是a,b的最大公因数的倍数的集合这个集合是a,b的最大公因数的倍数的集合这个集合是a,b的最大公因数的倍数的集合

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