军队文职(数学2+物理)——高等数学 3、求极限(一)

一、直接带入法：

根据极限的四则运算法则，若已知 $\lim\ f(x)= A$ ， $\lim\ g(x)= B$

那么可以通过直接代入法求极限。

$\lim\left [ \ f(x)\pm g(x) \right ]= A\pm B$

$\lim\left [ \ f(x)\cdot g(x) \right ]= A\cdot B$

$\lim\frac{f(x)}{g(x)}= \frac{A}{B}\left ( B\neq 0 \right )$

例： $\lim_{x \to \0}\frac{2x^{2}-3x+2}{3x^{2}+2}$

解：由公式 $\lim\frac{f(x)}{g(x)}= \frac{A}{B}\left ( B\neq 0 \right )$ ，直接将x=0带入， $A=2,B=2$ $\neq 0$ , $\frac{A}{B}=1$ 。

二、分母为0，有理化多项式，消去分母

例: $\lim_{x \to \1}\frac{x-1}{\sqrt{x+3}-2}=\lim_{x \to \1}\frac{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}{(\sqrt{x+3}-2)(\sqrt{x+3}+2)}$

$=\lim_{x \to \1}\frac{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}{(x-1)}$

$=\sqrt{x+3}+2= 4$

分母为0，不满足四则运算法则，通过有理化多项式，消去分母

三、等价无穷小公式

1、无穷大量

若 x $\rightarrow$ x0 (x $\rightarrow \infty$ )， $\left | f(x) \right |\rightarrow +\infty$ ，则称 f (x)为 x $\rightarrow$ x0 (x $\rightarrow \infty$ )时的无穷大量。

无穷大量是一个变量，它

2、无穷小量

若 x $\rightarrow$ x0 (x $\rightarrow \infty$ )时 f (x) $\rightarrow$ 0 ，则称 f (x)为 x $\rightarrow$ x0 (x $\rightarrow \infty$ )时的无穷小。即以0为极限的量就是无穷小量。

无穷小的性质：

1)有界量乘以无穷小仍是无穷小

2)有限个无穷小的和差积仍是无穷小

3)恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。

无穷小的比较：

若f(x),g(x)为同一变化过程下的无穷小，且

$\lim_{x \to \Delta }\frac{f(x)}{g(x)}=k$

if(k=0) => f(x)是g(x)的高阶无穷小;

if(k=1) => f(x)是g(x)的等价无穷小;

if(k≠0&&k≠1) => f(x)是g(x)的同阶无穷小;

常用的等价无穷小公式：

x ~ sinx ~ tanx ~ arcsinx ~ arctanx ~ ln(1+x) ~ $e^{x}-1$

$1-cos^{a}x \sim \frac{a}{2}x^2$

$(1+x)^a-1 \sim ax$

等价无穷小的使用条件：

1、被代换的量，在取极限的时候极限值为0；

2、被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

题目中，一般将自变量和自变量的参数当做一个整体，通过换元法代入公式求解。

例： $\lim_{x \to \0}\frac{(1+2x)^3}{x}=2\lim_{x \to \0}\frac{(1+2x)^3-1}{2x}=2\lim_{m \to \0}\frac{3m}{m}=6$

无穷小的性质以及等价无穷小在多元函数微积分学中同样会用到。

四、两个重要极限公式(常见题型)

求极限设计最广泛的题目是三角函数与指数函数，为了方便作题，总结了两个重要的极限公式，他们可以由无穷小公式或者洛必达法则推导出来。

1、 $\lim_{x \to \0}\frac{sinx}{x}=1$

推导过程：通过等价无穷小公式

例： $\lim_{x \to \0}\frac{sin2x}{x}=\lim_{x \to \0}\frac{sin2x}{2x}\cdot 2$

再由四则运算法则 $\lim\left [ \ f(x)\cdot g(x) \right ]= A\cdot B$ 可得， $\lim_{x \to \0}\frac{sin2x}{x}=\lim_{x \to \0}\frac{sin2x}{2x}\cdot 2=2$

2、 $\lim_{x \to \infty }\(1+\frac{1}{x})^{x}=\lim_{x \to \0 }\(1+x)^{\frac{1}{x}}=1$

公式推导：指数函数求极限通常会通过求对数，将自变量下移

$\lim_{x \to \infty }\(1+\frac{1}{x})^{x}=\lim_{x \to \infty }e^{\ln(1+\frac{1}{x})^{x} }=\lim_{x \to \infty }e^{x\ln(1+\frac{1}{x}) }$

$=e^{\lim_{x \to \infty }{x\ln(1+\frac{1}{x}) }}$ ，再由等价无穷小公式 $x\sim ln(1+x)$ 可得

$=e^1=e$

例： $\lim_{x \to \infty }\(1+\frac{2}{x})^{x}=\lim_{x \to \infty }\(1+\frac{2}{x})^{\frac{x}{2}\cdot 2}=e^{2}$

五、夹逼准则和单调有界原理

小概率下有机会遇见如下陷阱题：

1、数列项相加陷阱

例： $\lim_{n \to \infty }(\frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+2}+...+\frac{n}{n^2+n})$

注意此题数列项中n并非数组下标，一开始就等于无穷，设数列下标为q，则本题中的数列项为 $\frac{q}{n^2+q}|_{q(1,2,3...) }$ ，要区分于 $\frac{q}{n^2+n}|_{q(1,2,3...) }$ 和 $\frac{q}{q^2+q}|_{q(1,2,3...) }$ 。

当数列项为 $\frac{q}{q^2+q}|_{q(1,2,3...) }$ ，题目会变成 $\lim_{n \to \infty }(\frac{1}{1^2+1}+\frac{2}{2^2+2}+...+\frac{n}{n^2+n})$ ，根据极限四则运算法则，结果是 $\infty$ ，没有极限，根本不可能这么出题的。

夹逼准则： $\exists$ N,当n>N,有 $y_{n}\leq x_{n}\leq z_{n}$ ,若 $\lim_{n \to \infty }y_{n}=\lim_{n \to \infty }z_{n}=a$ ,则 $\lim_{n \to \infty }x_{n}=a$

上题中由于数列项有n和q两个变量导致我们无法使用四则运算法则，而夹逼准则允许我们通过分情况讨论q，分别构造出q为常量的 $y_{n}$ 与 $z_{n}$ ，再通过极限的四则运算法则求 $y_{n}$ 与 $z_{n}$ 的极限，从而间接求出 $x_{n}$ 的极限。

设q=n， $y_{n}=\lim_{n \to \infty }(\frac{1}{n^2+n}+\frac{2}{n^2+n}+...+\frac{n}{n^2+n})=\lim_{n \to \infty }(\frac{n(n+1))}{2n(n+1))})=\frac{1}{2}$

设q=1， $z_{n}=\lim_{n \to \infty }(\frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+1}+...+\frac{n}{n^2+1})=\lim_{n \to \infty }\frac{n^2+n}{2(n^2+1)}$

$=\lim_{n \to \infty }\frac{n^2+1+n-1}{2(n^2+1)}=\lim_{n \to \infty }\(\frac{1}{2}+\sqsubset \sqsupset )=\frac{1}{2}$

推出 $\lim_{n \to \infty }x_{n}=\frac{1}{2}$

2、证明极限是否存在，并求极限

单调有界原理：单调有界数列必有极限。

该定理可以证明数列极限是否存在，文职考试全是客观题，遇见的概率很小。