2.3 matlab矩阵求值（矩阵的行列式值、矩阵的秩、矩阵的积、矩阵的范数和矩阵的条件数）

1、方阵的行列式
把一个方阵看作一个行列式，并对其按行列式的规则求值，这个值就称为方阵所对应的行列式的值。det(A)：求方阵A所对应的行列式的值。

>> format rat;
>> a = [1 2 3;-3 -5 4;-5 9 1]a =1              2              3       -3             -5              4       -5              9              1       >> det(inv(a))ans =-1/231   >> 1/det(a)ans =-1/231

2、矩阵的秩

for n = 3:20r(n) = rank(magic(n));
end
bar(r)
grid on
axis([2,21,0,20])

n=3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
r =3 3 5 5 7 3 9 7 11 3 13 9 15 3 17 11 19 3
①奇数阶魔方阵秩为η,即奇数阶魔方阵是满秩矩阵；②重偶数阶魔方阵秩为n2+2(n是2的倍数,但非4的倍数)；③双重偶数阶魔方阵秩均为3(阶数是4的倍数)。

3、矩阵的迹
矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和，也等于矩阵的特征值之和。trace(A):求矩阵A的迹。

>> a = [1 2 3;-3 -5 4;-5 9 1]a =1     2     3-3    -5     4-5     9     1>> b = trace(a)b =-3>> b = sum(diag(a))    *可先提取矩阵的对角线元素，再进行求和b =-3

4、矩阵和向量的范数
（1）向量的3种范数
①向量1—范数:向量元素的绝对值之和。
②向量2—范数:向量元素绝对值的平方和的平方根。
③向量∞—范数:所有向量元素绝对值中的最大值。

（2）矩阵的3种范数
①矩阵A的1—范数:矩阵列元素绝对值之和的最大值。
②矩阵A的2—范数:A’A矩阵的最大特征值的平方根。
③矩阵A的oo—范数:所有矩阵行元素绝对值之和的最大值。

矩阵和向量的范数求法一致：
①norm(V)或norm(V,2):计算2—范数。
②norm(V,1): 计算1—范数。
③norm(V,inf):计算∞—范数。

例

>> a = [1 2 3;-3 -5 4;-5 9 1]a =1     2     3-3    -5     4-5     9     1>> b = norm(a,1)   *矩阵1范数b =16>> b = norm(a)  *矩阵2范数b =10.9225>> b = norm(a,inf)   *矩阵∞范数b =15

5、矩阵的条件数
矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆矩阵的范数的乘积。
条件数越接近于1，矩阵的性能越好，反之，矩阵的性能越差。

在MATLAB中，计算矩阵A的3种条件数的函数是:
①cond(A,1):计算A的1—范数下的条件数。
②cond(A)或cond(A,2):计算A的2—范数下的条件数。
③cond(A,inf):计算A的○o—范数下的条件数。

for n = 2:10r(n) = cond(hilb(n));
end
format long
r'

ans =1.0e+13 *00.0000000000019280.0000000000524060.0000000015513740.0000000476607250.0000014951058640.0000475367356910.0015257575566630.0493153404551011.6025028168113180.0000000000011000.0000000000003000.0000000000013000.0000000000009000.0000000000015000.0000000000003000.0000000000017000.0000000000011000.0000000000019000.000000000000300

希尔伯特矩阵的条件数不断增大，矩阵性能变差

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