军队文职(数学2+物理)——高等数学 5、导数

1、导数定义

设y=f(x)在 $x_0$ 的某邻域内有定义，自变量增量为Δx,因变量增量 $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$ ，若 $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ 存在，则说明f(x)在 $x_0$ 处可导，记作 ${f}'(x)$ 。

2、定义公式

1) ${f}'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ 或者 ${f}'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

2)左导数： ${f}'_{-}(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

右导数： ${f}'_{+}(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

3)倒数存在的充要条件：

${f}'_{-}(x)={f}'_{+}(x)$ ，即左右导数存在且相等，常见于分段函数。

例1：y=|x|在x=0处是否可导？

$y=\left\{\begin{matrix} -x & x\leqslant 0\\ x& x>0 \end{matrix}\right.$

解： ${f}'_{-}(x)=-1,{f}'_{+}(x)=1$ ,不可导。

例2：已知 ${f}'(x_0)=2$ ,则 $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_0-2h)-f(x_0)}{h}=?$

根据定义公式 ${f}'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ ，设 $\Delta x=-2h$ ,可得 ${f}'(x_0)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_0-2h)-f(x_0)}{-2h}=2$ ,

推出：

$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_0-2h)-f(x_0)}{h}=-2{f}'(x_0)=-4$

3、复合函数求导公式

1)导数四则运算

${m*f(x)}'=m{f}'(x)$

${[f(x)\pm g(x)]}'={f}'(x)\pm {g}'(x)$

${[f(x)\cdot g(x)]}'={f}'(x)*g(x)+f(x)*{g}'(x)$

${[\frac{f(x)}{g(x)}]}'=\frac{{f}'(x)g(x)-f(x){g}'(x)}{g^2(x)},(g(x)\neq 0)$

2）常用的求导公式

① ${(x^u)}'=ux^{u-1}$ , 如 ${(5x^3)}'=5*3x^2=15x^2$

推广：u=1时=》 ${x}'=1\cdot x^0=1$ ，u=0=》 ${5}'={(5x^0)}'=5*0*x^-1=0$

② ${(a^x)}'=a^xlna$ ,如 ${(2^x)}'=2^xln2$

推广:a=e时=》 ${(e^x)}'=e^xlne=e^x$

③ ${(log_ax)}'=\frac{1}{xlna}$

推广：a=e时=》 ${(lnx)}'=\frac{1}{xlne}=\frac{1}{x}$

④ ${(sinx)}'=cosx$ ${(cosx)}'=-sinx$

${(tanx)}'=sec^2x$ ${(cotx)}'=-csc^2x$

${(secx)}'=secxtanx$ ${(cscx)}'=-cscxcotx$

⑤ ${(arcsinx)}'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

${(arccosx)}'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

${(arctanx)}'=\frac{1}{1+x^2}$

${(arccotx)}'=-\frac{1}{1+x^2}$

3)复合函数求导的链式法则

若 $y=f(u),u=\varphi (x),$ 则 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$ , $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} / \frac{dx}{du}$

4、隐函数求导

对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有 y' 的一个方程，然后化简得到 y' 的表达式。

例1:由方程 $xy=e^{x+y}+x^2$ 确定y是x的函数，求 $\frac{dy}{dx}$

解：两边同时求导可得 ${(xy)}'={(e^{x+y}+x^2)}'$

$\Rightarrow y+x{y}'=e^{x+y}(1+{y}')+2x$

$\Rightarrow {y}'=\frac{2x-y+e^{x+y}}{x-e^{x+y}}$

例2:设 $y=x^{sinx}$ ,求 ${y}'$ .

取对数求导法。

${y}'={(x^{sinx})}'={(e^{lnx^{sinx}})}'={(e^{sinxlnx})}'$

$=e^{sinxlnx}\cdot (cosxlnx+\frac{sinx}{x})$

$=x^{sinx} (cosxlnx+\frac{sinx}{x})$

例3:设 $y=\frac{\sqrt{x+2}(3-x)^4}{(2x+1)^3}$ ,求 ${y}'$

两边同时取对数 $lny=ln\frac{\sqrt{x+2}(3-x)^4}{(2x+1)^3}=ln\sqrt{x+2}+ln(3-x)^4-ln(2x+1)^3$

$=\frac{1}{2}ln(x+2)+4ln(3-x)-3ln(2x+1)$

两边同时求导 $({lny})'={(ln\sqrt{x+2})}'+{(ln(3-x)^4)}'-{(ln(2x+1)^3)}'$

$\Rightarrow \frac{{y}'}{y}=\frac{1}{2x+2}-\frac{4}{3-x}-\frac{6}{2x+1}$

做题过程中发现f(x)变成了y就可能遇到了隐函数求导，主要考察复合函数求导的链式法则和取对数求导法

6、导数的几何应用

$(x_0,y_0)$ 点的切线方程： $y-y_0={f}'(x_0)(x-x_0)$

$(x_0,y_0)$ 点的法线方程： $y-y_0=\frac{1}{{f}'(x_0)}(x-x_0),{f}'(x)\neq 0$

当 ${f}'(x)=0,$ 切线方程 $y=y_0$ ,法线方程 $x=x_0$

例：求曲线 $\left\{\begin{matrix} x=ln(1+t)\\y=t^3+t^2 \end{matrix}\right.$ 在t=1处的切线方程

解：将t=1带入，得 $x_0=ln2,y_0=2$

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt} / \frac{dx}{dt}=10$

$\Rightarrow y-2=10(x-ln2)$