Holder不等式 Minkowski不等式

著名柯西-施瓦茨不等式是证明二范数三角不等式的重要工具。Holder不等式是柯西不等式的推广，它是证明ppp范数三角不等式的重要工具。

定义 Rn\mathbb{R}^nRn空间上的ppp范数∣⋅∣p|\cdot|_p∣⋅∣p定义为
∣x∣p=(∑i=1n∣xi∣p)1/p。|x|_p=(\sum_{i=1}^n |x_i|^p)^{1/p}。∣x∣p=(i=1∑n∣xi∣p)1/p。
这里的p≥1p\geq 1p≥1是正实数，x=(x1,x2,...,xn)∈Rnx=(x_1,x_2,...,x_n)\in\mathbb{R}^nx=(x1,x2,...,xn)∈Rn。特别地，对于p=∞p=\inftyp=∞定义
∣x∣∞=max⁡1≤i≤n∣xi∣。|x|_{\infty}=\max_{1\leq i \leq n} |x_i|。∣x∣∞=1≤i≤nmax∣xi∣。

注当p=2p=2p=2时，∣⋅∣2|\cdot|_2∣⋅∣2就是我们的二范数。

为了证明ppp范数是一个范数，我们需要验证其是否满足三角不等式，也即是否有
∣x+y∣p≤∣x∣p+∣y∣p|x+y|_p\leq |x|_p + |y|_p∣x+y∣p≤∣x∣p+∣y∣p
对所有的x,y∈Rnx,y\in\mathbb{R}^nx,y∈Rn成立。为了证明这个定理，我们需要Holder不等式。

首先需要一个引理。

引理 aλb1−λ≤λa+(1−λ)ba^{\lambda}b^{1-\lambda}\leq \lambda a + (1-\lambda)baλb1−λ≤λa+(1−λ)b这里的a,b≥0,0≤λ≤1a,b\geq 0, 0\leq \lambda \leq 1a,b≥0,0≤λ≤1。

证明 aaa或bbb为0时显然成立，故只需证a,b>0a,b>0a,b>0的情况。由于f(x)=ln⁡xf(x)=\ln xf(x)=lnx是关于xxx的上凸函数，故对于任意的a,b>0,0≤λ≤1a,b> 0, 0\leq \lambda \leq 1a,b>0,0≤λ≤1有
f(λa+(1−λ)b)≥λf(a)+(1−λ)f(b)，f(\lambda a + (1-\lambda)b)\geq \lambda f(a) + (1-\lambda)f(b)，f(λa+(1−λ)b)≥λf(a)+(1−λ)f(b)，
也即
ln⁡(λa+(1−λ)b)≥λln⁡a+(1−λ)ln⁡b。\ln (\lambda a + (1-\lambda)b) \geq \lambda \ln a + (1-\lambda)\ln b。ln(λa+(1−λ)b)≥λlna+(1−λ)lnb。
上式两边求指数，便有题设的不等式成立。

定理（Holder不等式） 对任意的1≤p,q≤∞,1/p+1/q=11\leq p, q \leq \infty, 1/p+1/q=11≤p,q≤∞,1/p+1/q=1以及x,y∈Rnx,y\in\mathbb{R}^nx,y∈Rn有
∑i=1n∣xiyi∣≤∣x∣p∣y∣q。\sum_{i=1}^n |x_iy_i|\leq |x|_p|y|_q。i=1∑n∣xiyi∣≤∣x∣p∣y∣q。
注当p=q=2p=q=2p=q=2时，Holder不等式退化为柯西-施瓦茨不等式。

证明由上面的引理
∣xi∣∣yi∣∣x∣p∣y∣q=(∣xi∣p∣x∣pp)1/p(∣yi∣q∣y∣qq)1/q≤1p∣xi∣p∣x∣pp+1q∣yi∣q∣y∣qq\frac{|x_i||y_i|}{|x|_p|y|_q}=(\frac{|x_i|^{p}}{|x|_p^p})^{1/p}(\frac{|y_i|^{q}}{|y|_q^q})^{1/q} \leq \frac{1}{p} \frac{|x_i|^{p}}{|x|_p^p} + \frac{1}{q}\frac{|y_i|^{q}}{|y|_q^q} ∣x∣p∣y∣q∣xi∣∣yi∣=(∣x∣pp∣xi∣p)1/p(∣y∣qq∣yi∣q)1/q≤p1∣x∣pp∣xi∣p+q1∣y∣qq∣yi∣q
不等式左右两边对iii求和便有
1∣x∣p∣y∣q∑i=1n∣xi∣∣yi∣≤1p∣x∣pp∑i=1n∣xi∣p+1q∣y∣qq∑i=1n∣yi∣q=1p+1q=1，\frac{1}{|x|_p|y|_q}\sum_{i=1}^n |x_i||y_i|\leq \frac{1}{p|x|_p^p} \sum_{i=1}^n |x_i|^p + \frac{1}{q|y|_q^q} \sum_{i=1}^n |y_i|^q = \frac{1}{p} + \frac{1}{q}=1， ∣x∣p∣y∣q1i=1∑n∣xi∣∣yi∣≤p∣x∣pp1i=1∑n∣xi∣p+q∣y∣qq1i=1∑n∣yi∣q=p1+q1=1，
其中倒数第二个等号成立是因为∑∣xi∣p=∣x∣pp\sum |x_i|^p = |x|_p^p∑∣xi∣p=∣x∣pp和∑∣yi∣q=∣y∣qq\sum |y_i|^q = |y|_q^q∑∣yi∣q=∣y∣qq。定理证毕。

下面的Minkowski不等式证明了ppp范数的三角不等式。

首先，我们需要一个小小的等式。如果1/p+1/q=11/p+1/q=11/p+1/q=1那么
(p−1)q=(p−1)⋅11−1/p=p。(p-1)q=(p-1)\cdot \frac{1}{1-1/p}=p。(p−1)q=(p−1)⋅1−1/p1=p。

定理（Minkowski不等式） 对任意的p≥1p\geq 1p≥1以及x,y∈Rnx,y\in\mathbb{R}^nx,y∈Rn有
∣x+y∣p≤∣x∣p+∣y∣p。|x+y|_p \leq |x|_p + |y|_p。 ∣x+y∣p≤∣x∣p+∣y∣p。
证明只需考虑1<p<∞1<p<\infty1<p<∞的情况，p=1p=1p=1或∞\infty∞的情形易证。当1<p<∞1<p<\infty1<p<∞时有
∣x+y∣pp=∑i=1n∣xi+yi∣p=∑i=1n∣xi+yi∣p−1∣xi+yi∣≤∑i=1n∣xi+yi∣p−1(∣xi∣+∣yi∣).|x+y|_p^p=\sum_{i=1}^n |x_i+y_i|^p=\sum_{i=1}^n |x_i+y_i|^{p-1}|x_i+y_i|\leq\sum_{i=1}^n |x_i+y_i|^{p-1}(|x_i|+|y_i|). ∣x+y∣pp=i=1∑n∣xi+yi∣p=i=1∑n∣xi+yi∣p−1∣xi+yi∣≤i=1∑n∣xi+yi∣p−1(∣xi∣+∣yi∣).
由Holder不等式
∑i=1n∣xi+yi∣p−1∣xi∣≤(∑i=1n∣xi+yi∣(p−1)q)1/q(∑i=1n∣xi∣p)1/p=(∑i=1n∣xi+yi∣(p−1)q)1/q∣x∣p=(∑i=1n∣xi+yi∣p)1/q∣x∣p=∣x+y∣pp/q∣x∣p，\begin{array}{lll} \displaystyle\sum_{i=1}^n|x_i+y_i|^{p-1}|x_i| &\leq& \displaystyle\Big(\sum_{i=1}^n|x_i+y_i|^{(p-1)q}\Big)^{1/q}\Big(\sum_{i=1}^n|x_i|^{p}\Big)^{1/p} \\ &=&\displaystyle\Big(\sum_{i=1}^n|x_i+y_i|^{(p-1)q}\Big)^{1/q} |x|_p\\ &=&\displaystyle\Big(\sum_{i=1}^n|x_i+y_i|^{p}\Big)^{1/q} |x|_p\\ &=& |x+y|_p^{p/q}|x|_p， \end{array} i=1∑n∣xi+yi∣p−1∣xi∣≤===(i=1∑n∣xi+yi∣(p−1)q)1/q(i=1∑n∣xi∣p)1/p(i=1∑n∣xi+yi∣(p−1)q)1/q∣x∣p(i=1∑n∣xi+yi∣p)1/q∣x∣p∣x+y∣pp/q∣x∣p，
其中1/p+1/q=11/p+1/q=11/p+1/q=1。同理还有
∑i=1n∣xi+yi∣p−1∣yi∣≤∣x+y∣pp/q∣y∣p。\displaystyle\sum_{i=1}^n|x_i+y_i|^{p-1}|y_i| \leq |x+y|_p^{p/q}|y|_p。 i=1∑n∣xi+yi∣p−1∣yi∣≤∣x+y∣pp/q∣y∣p。

结合上面的三个不等式有
∣x+y∣pp≤∣x+y∣pp/q(∣x∣p+∣y∣p)。|x+y|_p^p \leq |x+y|_p^{p/q}(|x|_p+|y|_p)。 ∣x+y∣pp≤∣x+y∣pp/q(∣x∣p+∣y∣p)。
不等式两边同时乘∣x+y∣p−p/q|x+y|_p^{-p/q}∣x+y∣p−p/q便有Minkowski不等式成立。

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