初等数论【整除性篇】之习题证明

8 | 任意奇数的平方-1
令一个奇数为（2k+1)(k∈Zk \in Zk∈Z)
（2k+1)²=4k²+1+4k
(2k+1)²-1=4k²+4k
=4k(k+1);
如果k为奇，则(k+1)为偶
如果k为偶，则k为偶，
∴ 8 | 4k(k+1)
∴ 8 | (2k+1)²-1
得证

2.
证明：(1)∵3ⁿ一定为奇数
∴2|3ⁿ+1
（2)令3ⁿ为3^(2k+1)(k∈Zk \in Zk∈Z)
原式=3^2k*3+1
=9^k *3 +1
=(1+8)^k *3+1
=(Ck1C_k^1Ck1 1 *8^k+Ck2C_k^2Ck2 1² *8^k-1+……CkkC_k^kCkk 1^k *8⁰)*3+1
=(Ck1C_k^1Ck1 1 *8^k+Ck2C_k^2Ck2 1² *8^k-1+……1)*3+1
=(Ck1C_k^1Ck1 1 *8^k *3+Ck2C_k^2Ck2 1² *8^k-1 *3+……3)+1
=(Ck1C_k^1Ck1 1 *8^k *3+Ck2C_k^2Ck2 1² *8^k-1 *3……+4)
8|Ck1C_k^1Ck1 1 *8^k *3+Ck2C_k^2Ck2 1² *8^k-1 *3……
∴4|3^2k+1+1
(3)由(2)可得，4|3^2k+1+1,或2|3^2k+1。最多只能整除4
3.

4
证明：如果(2a+3b) mod 17=0
∴(18a+27b) mod 17=0
∴(18a+27b-17b) mod 17=0
∴(18a+10b) mod 17=0
(9a+5b) mod 17 *2
=(18a+10b) mod 17
=0
∴(9a+5b) mod 17=0
得证
5

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